Übungen zur Mengentheoretischen Topologie

Übungen zur Mengentheoretischen Topologie
Sommersemester 2014
Universität Heidelberg
Mathematisches Institut
Dr. Denis Vogel
Dominik Wrazidlo
Aufgabe 1.
(6 Punkte)
Aufgabe 2.
(6 Punkte)
Aufgabe 3.
(6 Punkte)
Aufgabe 4.
(6 Punkte)
Blatt 7
Abgabetermin: Mittwoch, 04.06.2014, 9.15 Uhr
(a) Man zeige, dass ein topologischer Raum X genau dann Hausdor'sch ist, wenn für alle x ∈ X
der Durchschnitt aller abgeschlossenen Umgebungen von x gleich {x} ist.
(b) Sei f : X → Y eine stetige Abbildung topologischer Räume. Es sei ∼f die von f induzierte
Äquivalenzrelation auf X , also x ∼f y ⇔ f (x) = f (y). Man zeige: Ist Y Hausdor'sch, so
auch X/ ∼f .
Seien X1 und X2 zwei Kopien des n-dimensionalen euklidischen Raums Rn (n ≥ 1). Auf X =
X1 t X2 wird die folgende Äquivalenzrelation eingeführt: Für a, b ∈ X mit a 6= b sei a ∼ b genau
dann, wenn genau einer dieser Punkte in X1 und der andere in X2 liegt, und auÿerdem a = b 6= 0
in Rn gilt. Man zeige, dass X Hausdor'sch ist, nicht jedoch X/ ∼.
Es sei X (6= ∅) ein irreduzibler topologischer Raum, d.h. aus X = A ∪ B für abgeschlossene
A, B ⊆ X folgt stets X = A oder X = B (vgl. Aufgabe 3 von Blatt 2). Man zeige:
(a) Ist X Hausdor'sch, so besteht X aus nur einem Punkt.
(b) Jede nichtleere oene Teilmenge von X ist zusammenhängend. Man folgere, dass X lokal
zusammenhängend und zusammenhängend ist.
Sei f : X → Y eine (nicht notwendigerweise stetige) Abbildung topologischer Räume. Ferner sei
x ∈ X ein Punkt, dessen Umgebungslter U(x) eine abzählbare Basis B besitzt. Man zeige:
(a) Ist f stetig in x, dann konvergiert für jede gegen x konvergente Folge (xn )n∈N in X die
Bildfolge (f (xn ))n∈N in Y gegen f (x).
(b) Konvergiert für jede gegen x konvergente Folge (xn )n∈N in X die Bildfolge (f (xn ))n∈N in Y
gegen f (x), dann ist f stetig in x.
0
Hinweis: Man konstruiere eine Umgebungsbasis B = {Un }n∈N von x mit U1 ⊇ U2 ⊇ · · · .
−1
Für ein V ∈ U(f (x)) mit f (V ) ∈/ U(x) zeige man nun zunächst
Un ∩ (X \ f −1 (V )) 6= ∅
für alle n ∈ N.