Topologie - Mathematik, TU Dortmund

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Dortmund, 22. Juni 2017
Technische Universität Dortmund
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. Rainer Brück
Dr. Michela Egidi
Topologie
8. Übungsblatt, SoSe 2017
Freiwillige Abgabe in den Übungen am 28.06.2017
(1) Es sei G eine topologische Gruppe und U das Umgebungssystem des Einselements e.
Zeigen Sie:
(a) Zu jedem U ∈ U gibt es ein V ∈ U mit V 2 ⊂ U .
(b) Zu jedem U ∈ U gibt es ein V ∈ U mit V −1 ⊂ U .
(c) Zu jedem U ∈ U und x ∈ U ◦ gibt es ein V ∈ U mit xV ⊂ U .
(d) Zu jedem U ∈ U und x ∈ G gibt es ein V ∈ U mit xV x−1 ⊂ U .
Dabei bedeuten V 2 = { v 2 : v ∈ V }, V −1 = { v −1 : v ∈ V }, xV = { xv : v ∈ V },
xV x−1 = { xvx−1 : v ∈ V }.
(2) Es sei A eine nichtleere Indexmenge mit einer Ordnungsrelation ≺. Für jedes α ∈ A
gebe es einen topologischen Raum (Xα , Tα ) und zu je zwei Indizes α, β ∈ A mit α ≺ β
eine stetige Abbildung fβα : Xβ → Xα , sodass gilt:
(i) fαα = id|Xα für alle α ∈ A,
(ii) fγα = fβα ◦ fγβ für alle α, β, γ ∈ A mit α ≺ β ≺ γ, d.h. das Diagramm
Xβ o
fβα
}
fγβ
Xγ
fγα
Xα
ist kommutativ.
Dann heißt (Xα , fαβ )α,β∈A ein projektives System topologischer Räume. Zeigen Sie:
(a) Es gibt einen topologischen Raum (X, T ) = lim Xα mit folgender universeller
←−
”
Eigenschaft“:
(∗) Ist Y ein beliebiger topologischer Raum und gibt es stetige Abbildungen
(gα : Y → Xα )α∈A , sodass für jedes Paar α, β ∈ A mit α ≺ β gilt gα = fβα ◦gβ ,
so gibt es eine eindeutig bestimmte stetige Abbildung g : Y → X, sodass
gα = fα ◦ g für jedes α ∈ A.
(b) Durch diese Eigenschaft ist X bis auf Homöomorphie bestimmt, d.h. hat ein weiterer topologischer Raum X 0 mit stetigen Abbildungen (fα0 )α∈A die Eigenschaft
(∗), so gibt es einen eindeutig bestimmten Homöomorphismus h : X 0 → X, sodass
fα0 = fα ◦ h für alle α ∈ A.
Der Raum X = lim Xα heißt projektiver oder inverser Limes der Xα .
←−
(3) Es seien (Yβ )β∈B topologische Räume. Das System A aller nichtleeren endlichen Teilmengen von B werde durch die Mengeninklusion geordnet. Zu α ∈ A werde Xα =
Q
Yβ mit der Produkttopologie versehen. Zeigen Sie, dass sich der Produktraum
β∈α
Q
Π =
Yβ , versehen mit der Produkttopologie mit dem projektiven Limes lim Xα
←−
β∈B
identifizieren lässt.
(4) Ham-Sandwich-Problem: Eine Scheibe Brot sei mit einer Scheibe Schinken belegt. Aufgabe ist es, durch einen geraden Schnitt Brot und Schinken gleichzeitig zu halbieren.
Ist das Problem lösbar?
www.mathematik.tu-dortmund.de/sites/topologie-sose-17
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