Topologie - Mathematik, TU Dortmund

Dortmund, 22. Juni 2017
Technische Universität Dortmund
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. Rainer Brück
Dr. Michela Egidi
Topologie
8. Übungsblatt, SoSe 2017
Freiwillige Abgabe in den Übungen am 28.06.2017
(1) Es sei G eine topologische Gruppe und U das Umgebungssystem des Einselements e.
Zeigen Sie:
(a) Zu jedem U ∈ U gibt es ein V ∈ U mit V 2 ⊂ U .
(b) Zu jedem U ∈ U gibt es ein V ∈ U mit V −1 ⊂ U .
(c) Zu jedem U ∈ U und x ∈ U ◦ gibt es ein V ∈ U mit xV ⊂ U .
(d) Zu jedem U ∈ U und x ∈ G gibt es ein V ∈ U mit xV x−1 ⊂ U .
Dabei bedeuten V 2 = { v 2 : v ∈ V }, V −1 = { v −1 : v ∈ V }, xV = { xv : v ∈ V },
xV x−1 = { xvx−1 : v ∈ V }.
(2) Es sei A eine nichtleere Indexmenge mit einer Ordnungsrelation ≺. Für jedes α ∈ A
gebe es einen topologischen Raum (Xα , Tα ) und zu je zwei Indizes α, β ∈ A mit α ≺ β
eine stetige Abbildung fβα : Xβ → Xα , sodass gilt:
(i) fαα = id|Xα für alle α ∈ A,
(ii) fγα = fβα ◦ fγβ für alle α, β, γ ∈ A mit α ≺ β ≺ γ, d.h. das Diagramm
Xβ o
fβα
}
fγβ
Xγ
fγα
Xα
ist kommutativ.
Dann heißt (Xα , fαβ )α,β∈A ein projektives System topologischer Räume. Zeigen Sie:
(a) Es gibt einen topologischen Raum (X, T ) = lim Xα mit folgender universeller
←−
”
Eigenschaft“:
(∗) Ist Y ein beliebiger topologischer Raum und gibt es stetige Abbildungen
(gα : Y → Xα )α∈A , sodass für jedes Paar α, β ∈ A mit α ≺ β gilt gα = fβα ◦gβ ,
so gibt es eine eindeutig bestimmte stetige Abbildung g : Y → X, sodass
gα = fα ◦ g für jedes α ∈ A.
(b) Durch diese Eigenschaft ist X bis auf Homöomorphie bestimmt, d.h. hat ein weiterer topologischer Raum X 0 mit stetigen Abbildungen (fα0 )α∈A die Eigenschaft
(∗), so gibt es einen eindeutig bestimmten Homöomorphismus h : X 0 → X, sodass
fα0 = fα ◦ h für alle α ∈ A.
Der Raum X = lim Xα heißt projektiver oder inverser Limes der Xα .
←−
(3) Es seien (Yβ )β∈B topologische Räume. Das System A aller nichtleeren endlichen Teilmengen von B werde durch die Mengeninklusion geordnet. Zu α ∈ A werde Xα =
Q
Yβ mit der Produkttopologie versehen. Zeigen Sie, dass sich der Produktraum
β∈α
Q
Π =
Yβ , versehen mit der Produkttopologie mit dem projektiven Limes lim Xα
←−
β∈B
identifizieren lässt.
(4) Ham-Sandwich-Problem: Eine Scheibe Brot sei mit einer Scheibe Schinken belegt. Aufgabe ist es, durch einen geraden Schnitt Brot und Schinken gleichzeitig zu halbieren.
Ist das Problem lösbar?
www.mathematik.tu-dortmund.de/sites/topologie-sose-17