Sommersemester 2008 C. Preston Seminar Topologie

Sommersemester 2008
C. Preston
Seminar Topologie
Homologietheorie
Grundlage: Algebraische Topologie von Wolfgang Lück, Kapitel 1.
Eine Kategorie C besteht aus:
– Einer Klasse ob(C) von Objekten, die die Objekte von C genannt wird.
– Für alle X, Y ∈ ob(C) einer Menge mor(X, Y ). Die Elemente von mor(X, Y )
heißen Morphismen. Statt f ∈ mor(X, Y ) schreibt man meistens f : X → Y .
– Für alle X, Y, Z ∈ ob(C) einer Verknüpfung
mor(X, Y ) × mor(Y, Z) → mor(X, Z) ,
(f, g) 7→ g ◦ f
die assoziativ ist: Es gilt (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f ), falls die Verknüpfungen
definiert sind. Zu jedem X ∈ ob(C) gibt es einen Morphismus idX : X → X,
so dass idX ◦ f = f für alle f : Y → X und g ◦ idX = g für alle g : X → Z.
Seien C, D Kategorien. Ein kovarianter Funktor F : C → D besteht aus:
– Einer Zuordnung X 7→ F (X) von ob(C) nach ob(D).
– Für alle Objekte X, Y ∈ ob(C) einer Zuordnung f 7→ F (f ) von mor(X, Y )
nach mor(F (X), F (Y )), so dass F (g ◦ f ) = F (g) ◦ F (f ) für alle f : X → Y ,
g : Y → Z und F (idX ) = idF (X) für alle X ∈ ob(C).
Ein kontravarianter Funktor F : C → D besteht aus:
– Einer Zuordnung X 7→ F (X) von ob(C) nach ob(D).
– Für alle Objekte X, Y ∈ ob(C) einer Zuordnung f 7→ F (f ) von mor(X, Y )
nach mor(F (Y ), F (X)), so dass F (g ◦ f ) = F (f ) ◦ F (g) für alle f : X → Y ,
g : Y → Z und F (idX ) = idF (X) für alle X ∈ ob(C).
Seien F, G : C → D zwei kovariante Funktoren. Eine natürliche Transformation
T : F → G besteht aus:
– Einer Zuordnung X 7→ T (X) von ob(C) nach mor(F (X), G(X)), so dass
F (f )
F (X) −−−→ F (Y )



T (Y )
T (X)y
y
G(X) −−−→ G(Y )
G(f )
für jeden Morphismus f : X → Y gilt.
2
Homologietheorie
Seien F, G : C → D kontravariante Funktoren. Eine natürliche Transformation
T : F → G besteht aus:
– Einer Zuordnung X 7→ T (X) von ob(C) nach mor(F (X), G(X)), so dass
F (f )
F (Y ) −−−→ F (X)


T (Y )

T (X)y
y
G(Y ) −−−→ G(X)
G(f )
für jeden Morphismus f : X → Y gilt.
Sind F : C → D und G : D → E Funktoren, so ist G ◦ F : C → E ein Funktor,
wobei (G ◦ F )(X) = G(F (X)) für jedes X ∈ ob(C) und (G ◦ F )(f ) = G(F (f ))
für jedes f : X → Y . Sind F und G beide kovariante oder beide kontravariante
Funktoren, so ist G◦F ein kovarianter Funktor, sonst ist G◦F ein kontravarianter
Funktor.
Die Kategorie der Paare von topologischen Räumen wird mit TOP2 bezeichnet.
– Objekte von TOP2 sind Paare (X, A), wobei X ein topologischer Raum ist
und A ein Unterraum von X mit der Unterraumtopologie.
– Ein Morphismus f : (X, A) → (Y, B) ist eine stetige Abbildung f : X → Y
mit f (A) ⊂ B.
Das Paar (Z, ∅) wird stets mit Z bezeichnet.
Es gibt einen kovarianten Funktor I : TOP2 → TOP2 mit I(X, A) = A für jedes
Paar (X, A) und mit I(f ) = f|A : A → B die Einschränkung von f auf A für
jedes f : (X, A) → (Y, B).
Sei R ein kommutativer Ring mit Eins. Die Kategorie der Z-gradierten R-Moduln
wird mit Z-grad.-R-MODULN bezeichnet.
– Objekte von Z-grad.-R-MODULN sind Folgen {Mn }n∈Z von R-Moduln.
– Ein Morphismus f : {Mn }n∈Z → {Nn }n∈Z ist eine Folge f = {fn }n∈Z von
R-linearen Abbildungen fn : Mn → Nn , n ∈ Z.
Ist {On }n∈Z irgendeine Folge von Objekten, so bezeichnen wir mit σ({On }n∈Z )
die Folge {On′ }n∈Z mit On′ = On−1 für jedes n ∈ Z. Es gibt einen kovarianten
Funktor (Index-Verschiebung)
σ : Z-grad.-R-MODULN → Z-grad.-R-MODULN
3
Homologietheorie
Sei R stets ein kommutativer Ring mit Eins. Eine Homologietheorie mit Werten
in R-Moduln besteht aus einem kovarianten Funktor
H∗ : TOP2 → Z-grad.-R-MODULN
zusammen mit einer natürlichen Transformation
∂∗ : H∗ → H∗−1 ◦ I ,
wobei H∗−1 = σ ◦ H∗ , so dass die unten stehenden Axiome gelten.
Dies bedeutet Folgendes: Zu jedem Paar (X, A) von topologischen Räumen gibt
es eine Folge
H∗ (X, A) = {Hn (X, A)}n∈Z
von R-Moduln. Zu jeder stetigen Abbildung f : (X, A) → (Y, B) gibt es eine
Folge von R-linearen Abbildungen
H∗ (f ) = {Hn (f )}n∈Z
mit Hn (f ) : Hn (X, A) → Hn (Y, B) für jedes n ∈ Z.
Sind f : (X, A) → (Y, B) und g : (Y, B) → (Z, C) stetige Abbildungen, so gilt
H∗ (g ◦ f ) = H∗ (g) ◦ H∗ (f ) ,
als Morphismen H∗ (X, A) → H∗ (Z, C), d.h. es gilt
Hn (g ◦ f ) = Hn (g) ◦ Hn (f )
als R-lineare Abbildungen von Hn (X, A) nach Hn (Z, C) für jedes n ∈ Z.
Für jedes Paar (X, A) ist H∗ (id(X,A) ) die Identität H∗ (X, A) → H∗ (X, A), d.h.
die R-lineare Abbildung
Hn (id(X,A) ) : Hn (X, A) → Hn (X, A)
ist die Identität für jedes n ∈ Z.
Zu jedem Paar (X, A) von topologischen Räumen gibt es einen Morphismus
∂∗ (X, A) : H∗ (X, A) → (H∗−1 ◦ I)(X, A) = H∗−1 (A) = σ(H∗ (A)) .
Für jedes n ∈ Z gibt es also eine R-lineare Abbildung
∂n (X, A) : Hn (X, A) → Hn−1 (A) .
Ist ferner f : (X, A) → (Y, B) eine stetige Abbildung, so gilt
H∗ (X, A)


∂∗ (X,A)y
H∗ (f )
−−−→
H∗ (Y, B)

∂ (Y,B)
y∗
H∗−1 (A) −−−−−−→ H∗−1 (B)
H∗−1 (f|A )
4
Homologietheorie
Für jedes n ∈ Z gilt also
Hn (X, A)


∂n (X,A)y
Hn (f )
−−−→
Hn (Y, B)

∂ (Y,B)
yn
Hn−1 (A) −−−−−−→ Hn−1 (B)
Hn−1 (f|A )
als R-lineare Abbildungen.
Hier sind die Axiome:
Homotopieinvarianz:
Seien (X, A), (Y, B) Paare von topologischen Räumen und f, g : (X, A) → (Y, B)
homotope Abbildungen. Dann gilt Hn (f ) = Hn (g) als R-lineare Abbildungen
von Hn (X, A) nach Hn (Y, B) für jedes n ∈ Z, d.h. es gilt H∗ (f ) = H∗ (g) als
Morphismen H∗ (X, A) → H∗ (Y, B).
(Die Abbildungen f, g : (X, A) → (Y, B) sind homotop, wenn es eine stetige
Abbildung H : X × [0, 1] → Y gibt, so dass H(x, 0) = f (x) und H(x, 1) = g(x)
für alle x ∈ X und H(x, t) ∈ B für alle x ∈ A, t ∈ [0, 1].)
Lange exakte Sequenz von Paaren:
Sei (X, A) ein Paar von topologischen Räumen, seien i : A → X, j : X → (X, A)
die Inklusionen. Dann gibt es eine lange exakte Folge
∂n+1 (X,A)
Hn (i)
Hn (j)
· · · −−−−−−→ Hn (A) −−−→ Hn (X) −−−→ Hn (X, A)
∂n (X,A)
Hn−1 (i)
Hn−1 (j)
−−−−−→ Hn−1 (A) −−−−→ Hn−1 (X) −−−−−→ · · ·
Ausschneidung:
Seien A und B Unterräume eines topologischen Raumes X und sei der Abschluß
von A im Inneren von B enthalten. Insbesondere ist A ⊂ B ⊂ X und also gibt
es die Inklusion i : (X \ A, B \ A) → (X, B). Dann ist der Morphismus
H∗ (i) : H∗ (X \ A, B \ A) → H∗ (X, B)
ein Isomorphismus, d.h. für jedes n ∈ Z ist die R-lineare Abbildung
Hn (i) : Hn (X \ A, B \ A) → Hn (X, B)
ein Isomorphismus.
5
Homologietheorie
Manchmal gelten auch folgende Axiome:
Dimensionsaxiom:
Für einen Raum X = {x0 } bestehend aus nur einen Punkt gilt
R falls n = 0 ,
Hn (X) =
0 sonst .
Disjunkte Vereinigung:
S
Sei {Xi }i∈I eine disjunkte Familie von topologischen Räumen und X = i∈I Xi
(mit der üblichen Topologie). Für jedes i ∈ I sei ji : Xi → X die Inklusion. Dann
ist die Abbildung
M
M
Hn (ji ) :
Hn (Xi ) → Hn (X)
i∈I
bijektiv für jedes n ∈ Z.
i∈I
6
Homologietheorie
Ein Tripel (X, B, A) von topologischen Räumen besteht aus einem topologischen
Raum X und zwei Unterräumen A, B mit A ⊂ B ⊂ X.
Lemma 1 Sei (X, B, A) ein Tripel von topologischen Räumen. Für jedes n ∈ Z
ist dann Hn (j) ◦ Hn (i) = 0, wobei i : (B, A) → (X, A) und j : (X, A) → (X, B)
die Inklusionen sind.
Beweis Für das Paar (B, B) gibt es die lange exakte Folge
∂n+1 (B,B)
Hn (i)
Hn (j)
∂n (B,B)
Hn−1 (i)
−−−−−−→ Hn (B) −−−→ Hn (B) −−−→ Hn (B, B) −−−−−→ Hn−1 (B) −−−−→
und Hn (i) = id. Folglich ist Hn (B, B) = 0 für jedes n ∈ Z. Aus
j
(B, A) −−−→ (B, B)




iy
yi
folgt, dass
(X, A) −−−→ (X, B)
j
Hn (j)
Hn (B, A) −−−→ Hn (B, B) = 0


H (i)

Hn (i)y
y n
Hn (X, A) −−−→
Hn (j)
Hn (X, B)
und damit ist Hn (j) ◦ Hn (i) = 0 für jedes n ∈ Z.
Sei (X, B, A) ein Tripel von topologischen Räumen. Seien i : (B, A) → (X, A),
j : (X, A) → (X, B) und k : B → (B, A) die Inklusionen. Für jedes n ∈ Z sei
∂n (X, B, A) : Hn (X, B) → Hn−1 (B, A) die durch
∂n (X,B)
Hn−1 (k)
∂n (X, B, A) : Hn (X, B) −−−−−→ Hn−1 (B) −−−−−→ Hn−1 (B, A)
definierte R-lineare Abbildung, d.h. ∂n (X, B, A) = Hn−1 (k) ◦ ∂n (X, B).
Satz 1 Es gibt eine lange exakte Folge
∂n+1 (X,B,A)
Hn (i)
Hn (j)
· · · −−−−−−−→ Hn (B, A) −−−→ Hn (X, A) −−−→ Hn (X, B)
∂n (X,B,A)
Hn−1 (i)
Hn−1 (j)
−−−−−−→ Hn−1 (B, A) −−−−→ Hn−1 (X, A) −−−−−→ · · ·
Für jede stetige Abbbildung f : (X, B, A) → (Y, D, C) (d.h., (Y, D, C) ist ein
Tripel von topologischen Räumen und f : X → Y ist eine stetige Abbildung mit
f (B) ⊂ D und f (A) ⊂ C) gilt ferner
Hn (X, B)


∂n (X,B,A)y
Hn (f )
−−−→
Hn (Y, D)

∂ (Y,D,C)
yn
Hn−1 (B, A) −−−−−−→ Hn−1 (D, C)
Hn−1 (f|B )
7
Homologietheorie
Beweis Wir zeigen zunächst, dass der folgende Zopf kommutiert:
∂n+1 (X,B,A)
III
BB A
A
A
Hn (i)A
I
Hn (B)
BB AA
A
A
Hn (i)
Hn (A)
H
H
Hn (B, A)
A ∂n+1 (X,B)
A
A
Hn (j) A
A
A
A
AA H
H
Hn−1 (i)
IV
H
H
Hn+1 (X, B)
A
A
∂n (B,A)
II
Hn (X, A)
A Hn (i)
A
A
Hn (j)
A
A
A
H
H
A Hn (i)
Hn−1 (X)
BB A
BB
A
∂n (X,A) A
A
Hn−1 (i) A
A
Hn−1 (i) A
A
A
A
A
A
A
A
AA AA H
H
H
H
Hn−1 (B)
BB AA
A
A
A Hn (j)
A
A
A
∂n (X,B)
A
A
H
H
A Hn (X)
VI
H
H
Hn−1 (A)
BB AA
A
A
B
B
V
Hn (X, B)
B
B
VII
Hn (j)
A Hn−1 (j)
A
A
A
A
A
H
H
A
Hn−1 (B, A)
VIII
B
B
∂n (X,B,A)
In diesem Zopf kommen folgende Folgen vor:
Lange exakte Folge für das Paar (X, A):
Hn (i)
Hn (j)
∂n (X,A)
Hn−1 (i)
Hn (A) −−−→ Hn (X) −−−→ Hn (X, A) −−−−−→ Hn−1 (A) −−−−→ Hn−1 (X)
Lange exakte Folge für das Paar (X, B):
∂n+1 (X,B)
Hn (i)
Hn+1 (X, B) −−−−−−→ Hn (B) −−−→ Hn (X)
Hn (j)
∂n (X,B)
Hn−1 (i)
−−−→ Hn (X, B) −−−−−→ Hn−1 (B) −−−−→ Hn−1 (X)
8
Homologietheorie
Lange exakte Folge für das Paar (B, A):
Hn (i)
Hn (j)
Hn (A) −−−→ Hn (B) −−−→ Hn (B, A)
∂n (B,A)
Hn−1 (i)
Hn−1 (j)
−−−−−→ Hn−1 (A) −−−−→ Hn−1 (B) −−−−−→ Hn−1 (B, A)
Lange Folge für das Tripel (X, B, A):
∂n+1 (X,B,A)
Hn (i)
Hn+1 (X, B) −−−−−−−→ Hn (B, A) −−−→ Hn (X, A)
Hn (j)
∂n (X,B,A)
−−−→ Hn (X, B) −−−−−−→ Hn−1 (B, A)
Der Zopf kommutiert, da:
Hn (j)
j
I. Aus
B −−−→ (B, A)




iy
yi
Hn (B) −−−→ Hn (B, A)



H (i)
Hn (i)y
y n
.
folgt
X −−−→ (X, A)
Hn (X) −−−→ Hn (X, A)
j
Hn (j)
Hn (j)
II. Aus
j
folgt
(X, A) −−−→ (X, B)
Hn (X, A) −−−→ Hn (X, B)



∂ (X,B)
∂n (X,A)y
yn
,
Hn−1 (A) −−−−→ Hn−1 (B)
Hn−1 (i)
da i = j|A .
III. Per Definition ist ∂n+1 (X, B, A) = Hn (j) ◦ ∂n+1 (X, B). (Hier ist j = k.)
Hn (i)
IV. Aus
i
(B, A) −−−→ (X, A)
folgt
Hn (B, A) −−−→ Hn (X, A)


∂ (B,A)
∂ (X,A)
,
yn
yn
Hn−1 (A) −−−→ Hn−1 (A)
id
da Hn−1 (i|A ) = Hn−1 (id) = id.
V. Aus
i
i
i : A −−−→ B −−−→ X
folgt
Hn−1 (i)
Hn−1 (i)
Hn−1 (i) : Hn−1 (A) −−−−→ Hn−1 (B) −−−−→ Hn−1 (X) .
9
Homologietheorie
VI. Aus
i
i
i : A −−−→ B −−−→ X
folgt
Hn (i)
Hn (i)
Hn (i) : Hn (A) −−−→ Hn (B) −−−→ Hn (X) .
VII. Aus
j
j
j : X −−−→ (X, A) −−−→ (X, B)
folgt
Hn (j)
Hn (j)
Hn (j) : Hn (X) −−−→ Hn (X, A) −−−→ Hn (X, B) .
VIII. Per Definition ist ∂n (X, B, A) = Hn−1 (j) ◦ ∂n (X, B). (Hier ist j = k.)
Die Exaktheit der langen Folge für das Tripel (X, B, A) folgt nun aus Lemma 1
und Lemma 2 auf der nächsten Seite.
Die letzte Aussage in Satz 1 folgt aus dem Diagramm:
Hn (X, B)


∂n (X,B)y
Hn−1 (B)


Hn−1 (k)y
Hn (f )
−−−→
−−−−−−→
Hn−1 (f|B )
Hn (Y, D)

∂ (Y,D)
yn
Hn−1 (D)

H (k)
y n−1
Hn−1 (B, A) −−−−−−→ Hn−1 (D, C)
Hn−1 (f|B )
10
Homologietheorie
Lemma 2 Nehme an, dass der folgende Zopf kommutiert:
α
ξ
III
IV
H
H
A
ψ
B
A
A
A
A
A
ζ
A
A
A
A
AA H
H
H
H
C
BB A
A
A
β A
ν
A
ϕ A
A
A
A
AA H
H
I
E
V
H
H
BB
D
A
A
A
π A
A
λ
A
A
II
F
A
A
AA H
H
BB
G
B A
B A
B A
B A
B A
B A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
µ
Aη
τ
Aγ
κ
A ̺
A
A
A
A
A
A
A
A
A
H
H
H
H
A H
A H
A
P
VI
Q
R
S
BB
BB
BB
VII
σ
VIII
θ
δ
Sind die Folgen
ζ
η
θ
κ
λ
µ
ν
ξ
π
̺
σ
τ
ϕ
ψ
A −−−→ E −−−→ Q −−−→ R −−−→ G −−−→ D
P −−−→ E −−−→ B −−−→ C −−−→ G −−−→ S
P −−−→ Q −−−→ F −−−→ C −−−→ D
exakt und ist γ ◦ β = 0, so ist die Folge
α
β
γ
δ
A −−−→ B −−−→ F −−−→ R −−−→ S
ebenfalls exakt.
11
Homologietheorie
Beweis
1. Exaktheit an der Stelle −−α−→ B −−β−→
α
ξ
III
A
a
A
A
A
A
b
ζ
A
A
A
A
A
AA H
H
e′ , e
ν
C
A
A
A
β A
A
A
ϕ
A
A
A
AA H
H
I
E
p
H
H
B
BB
q
BB
F
BB AA
A
A
A
A
µ
A η
A
A
A
H
H
A
P
IV
H
H
BB
τ
Q
B
B
VI
σ
Sei b ∈ B mit β(b) = 0. Da ξ = ϕ ◦ β, ist also ξ(b) = 0 und folglich gibt es ein
e ∈ E, so dass ν(e) = b. Setze q = η(e); dann ist
τ (q) = (τ ◦ η)(e) = (β ◦ ν)(e) = β(b) = 0
und daher gibt es ein p ∈ P mit σ(p) = q. Setze e′ = µ(p); es gilt
η(e′ ) = (η ◦ µ)(p) = σ(p) = q = η(e) ;
12
Homologietheorie
d.h. η(e − e′ ) = 0. Also gibt es a ∈ A mit ζ(a) = e − e′ und dann ist
α(a) = (ν ◦ ζ)(a) = ν(e − e′ ) = b − ν(e′ ) = b − (ν ◦ µ)(p) = b − 0 = b .
Dies zeigt, dass Kern β ⊂ Bild α. Es gilt auch
β◦α=β◦ν◦ζ =τ ◦η◦ζ =0,
da η ◦ ζ = 0 und damit ist Bild α ⊂ Kern β.
α
III
H
H
A
A
A
B
A
A
A
ζ
A
A
A
A
AA H
H
BB
ν
A
A
A
β A
A
A
A
A
A
AA
H
H
I
E
AA
A
A
A
A
F
A η
A
A
A
H
H
A B
B
τ
Q
Dies zeigt also, dass Kern β = Bild α.
13
Homologietheorie
β
γ
2. Exaktheit an der Stelle −−−
→ F −−−→
ξ
IV
H
H
b, b′ B
BB
ν
I
A
A
A
A
A
β A
A
A
ϕ
A
A
A
AA H
H
e E
AA
c
A
A
A η
A
A
A
H
H
A
q
f ′, f
F
C
BB
A
π A
A
A
A
A
A
AA
H
H
II
G
BB AA
A
A
A
A
τ
A γ
A
A
A
H
H
A
Q
A
A
BB
κ
R
VII
B
B
θ
Sei f ∈ F mit γ(f ) = 0 und setze c = ϕ(f ); dann ist
π(c) = (π ◦ ϕ)(f ) = (κ ◦ γ)(f ) = 0
und also gibt es ein b ∈ B, so dass ξ(b) = c. Setze f ′ = β(b); es gilt
ϕ(f ′ ) = (ϕ ◦ β)(b) = ξ(b) = c = ϕ(f ) ,
d.h. ϕ(f − f ′ ) = 0. Daher gibt es ein q ∈ Q mit τ (q) = f − f ′ . Nun ist
θ(q) = (γ ◦ τ )(q) = γ(f − f ′ ) = γ(f ) − γ(f ′ ) = 0 − (γ ◦ β)(c) = 0 − 0 = 0
14
Homologietheorie
und folglich gibt es ein e ∈ E, so dass η(e) = q. Setze b′ = ν(e); dann ist
β(b + b′ ) = β(b) + β(b′ ) = f ′ + (β ◦ ν)(e)
= f ′ + (τ ◦ η)(e) = f ′ + τ (δ) = f ′ + f − f ′ = f .
Dies zeigt, dass Kern γ ⊂ Bild β und folglich ist Kern γ = Bild β, da nach
Voraussetzung γ ◦ β = 0.
γ
δ
3. Exaktheit an der Stelle −−−
→ R −−−→
ψ
V
c
ϕ f, f ′
q
C
BB
D
A
A
II
λ A
A
A
A
g
γ
A
A
A
H
H
A r, r ′
BB
G
B A
B A
A
A
A
κ
A
A
A
A
̺
A
H
H
A
R
BB
VII
A
A
A
AA H
H
B A
B A
A
A
A
Q
A
πA
F
τ
H
H
S
BB
VIII
θ
δ
Sei r ∈ R mit δ(r) = 0 und setze g = κ(r). Dann ist ̺(g) = (̺ ◦ κ)(r) = δ(r) = 0
und folglich gibt es ein c ∈ C, so dass π(c) = g. Nun ist
ψ(c) = (λ ◦ π)(c) = λ(g) = (λ ◦ κ)(r) = 0
15
Homologietheorie
und also gibt es ein f ∈ F , so dass ϕ(f ) = c. Setze r ′ = γ(f ); es gilt
κ(r ′) = (κ ◦ γ)(f ) = (π ◦ ϕ)(f ) = π(c) = g = κ(r) ,
d.h. κ(r − r ′ ) = 0. Daher gibt es ein q ∈ Q mit θ(q) = r − r ′ . Setze f ′ = τ (q);
dann ist
γ(f + f ′ ) = γ(f ) + (γ ◦ τ )(q) = γ(f ) + θ(q) = r ′ + r − r ′ = r .
Dies zeigt, dass Kern δ ⊂ Bild γ. Es gilt auch
δ◦γ =̺◦κ◦γ =̺◦π◦ϕ=0,
da ̺ ◦ π = 0 und damit ist Bild γ ⊂ Kern δ.
C
BB A
A
A
ϕ πA
A
A
A
A
A
AA
H
H
II
F
AA
A
A
A
A
A
G
γ
A
A
A
H
H
A BB AA
A
A
κ
R
A
A
̺
A
A
H
H
A
S
B
B
VIII
δ
Dies zeigt also, dass Kern δ = Bild γ.
A
A
16
Homologietheorie
Sei X ein topologischer Raum und sei X1 , X2 zwei Unterräume von X; setze
X0 = X1 ∩ X2 . Sei ℓ : (X1 , X0 ) → (X, X2 ) die Inklusion. Dann heißt (X; X1 , X2 )
eine excisive Triade, wenn H∗ (ℓ) : H∗ (X1 , X0 ) → H∗ (X, X2 ) ein Isomorphismus
ist, d.h., wenn die R-lineare Abbildung Hn (ℓ) : Hn (X1 , X0 ) → Hn (X, X2 ) ein
Isomorphismus ist für jedes n ∈ Z.
Lemma 3 Sei X ein topologischer Raum und seien X1 , X2 offene Unterräume
von X mit X = X1 ∪ X2 . Dann ist (X; X1 , X2 ) ein excisive Triade.
Beweis Setze A = X \ X1 und B = X2 ; dann ist A abgeschlossen, B offen und
A ⊂ B. Folglich ist nach dem Ausschneidungsaxiom der Morphismus
H∗ (i) : H∗ (X \ A, B \ A) → H∗ (X, B)
ein Isomorphismus. Aber X \ A = X1 , B \ A = X1 ∩ X2 = X0 , B = X2 und i = ℓ
und damit ist H∗ (ℓ) : H∗ (X1 , X0 ) → H∗ (X, X2 ) ein Isomorphismus.
Sei nun (X; X1 , X2 ) eine excisive Triade, setze X0 = X1 ∩ X2 und sei wieder
ℓ : (X1 , X0 ) → (X, X2 ) die Inklusion. Sei A ein Unterraum von X mit A ⊂ X0
und sei k : (X, A) → (X, X2 ) die Inklusion.
Für jedes n ∈ Z sei ∂n (X; X1 , X2 ) : Hn (X, A) → Hn−1 (X0 , A) die durch
Hn (k)
∂n (X; X1 , X2 ) : Hn (X, A) −−−→ Hn (X, X2 )
Hn (ℓ)−1
∂n (X1 ,X0 ,A)
−−−−−→ Hn (X1 , X0 ) −−−−−−−→ Hn−1 (X0 , A)
definierte R-lineare Abbildung, d.h.
∂n (X; X1 , X2 ) = ∂n (X1 , X0 , A) ◦ Hn (ℓ)−1 ◦ Hn (k) .
Satz 2 (Mayer-Vietoris-Sequenz) Für k = 1, 2 seien ik : (X0 , A) → (Xk , A)
und jk : (Xk , A) → (X, A) die Inklusionen. Dann gibt es eine lange exakte Folge
∂n+1 (X;X1 ,X2 )
Hn (i1 )⊕Hn (i2 )
· · · −−−−−−−−−→ Hn (X0 , A) −−−−−−−−−→ Hn (X1 , A) ⊕ Hn (X2 , A)
Hn (j1 )−Hn (j2 )
∂n (X;X1 ,X2 )
−−−−−−−−−→ Hn (X, A) −−−−−−−→ Hn−1 (X0 , A)
Hn−1 (i1 )⊕Hn−1 (i2 )
Hn−1 (j1 )−Hn−1 (j2 )
−−−−−−−−−−−→ Hn−1 (X1 , A) ⊕ Hn−1 (X2 , A) −−−−−−−−−−−−→ · · ·
17
Homologietheorie
Beweis Für das Tripel (X1 , X0 , A) gibt es die lange exakte Folge
∂n+1 (X1 ,X0 ,A)
Hn (i)
Hn (j)
· · · −−−−−−−−−→ Hn (X0 , A) −−−→ Hn (X1 , A) −−−→ Hn (X1 , X0 )
∂n (X1 ,X0 ,A)
Hn−1 (i)
Hn−1 (j)
−−−−−−−→ Hn−1 (X0 , A) −−−−→ Hn−1 (X1 , A) −−−−−→ · · ·
und für das Tripel (X, X2 , A) die lange exakte Folge
∂n+1 (X,X2 ,A)
Hn (i)
Hn (j)
· · · −−−−−−−−→ Hn (X2 , A) −−−→ Hn (X, A) −−−→ Hn (X, X2 )
∂n (X,X2 ,A)
Hn−1 (i)
Hn−1 (j)
−−−−−−−→ Hn−1 (X2 , A) −−−−→ Hn−1 (X, A) −−−−−→ · · ·
Hn (i1 )
i
Aus
1
(X0 , A) −−−
→ (X1 , A)



j
i2 y
y1
folgt
(X2 , A) −−−→ (X, A)
Hn (X2 , A) −−−−→ Hn (X, A)
j2
Hn (j2 )
Hn (k ′ )
k′
aus
Hn (X0 , A) −−−−→ Hn (X1 , A)



H (j )
Hn (i2 )y
y n 1
(X1 , A) −−−→ (X1 , X0 )




j1 y
yℓ
folgt
Hn (X1 , A) −−−−→ Hn (X1 , X0 )



H (ℓ)
Hn (j1 )y
y n
Hn (X, A) −−−→ Hn (X, X2 )
(X, A) −−−→ (X, X2 )
Hn (k)
k
und nach der letzten Aussage in Satz 1 gilt
∂n (X1 ,X0 ,A)
Hn (X1 , X0 ) −−−−−−−→ Hn−1 (X0 , A)




Hn (ℓ)y
Hn−1 (i2 )y
Hn (X, X2 ) −−−−−−−→ Hn−1 (X2 , A)
∂n (X,X2 ,A)
Folglich gibt es das kommutative Diagramm
Hn (i1 )
Hn (k ′ )
∂n (X1 ,X0 ,A)
Hn (X0 , A) −−−−→ Hn (X1 , A) −−−−→ Hn (X1 , X0 ) −−−−−−−→ Hn−1 (X0 , A)




H (i )
H (j )


Hn (ℓ)y
Hn−1 (i2 )y
y n 2
y n 1
Hn (X2 , A) −−−−→ Hn (X, A) −−−→ Hn (X, X2 ) −−−−−−−→ Hn−1 (X2 , A)
Hn (j2 )
Hn (k)
∂n (X,X2 ,A)
wobei die Zeilen exakt sind und Hn (ℓ) ein Isomorphismus ist. Ferner ist
∂n (X1 ,X0 ,A)
∂n (X; X1, X2 ) =
Hn (X1 , X0 ) −−−−−−−→ Hn−1 (X0 , A)
x

Hn (ℓ)−1 
Hn (X, A) −−−→ Hn (X, X2 )
Hn (k)
18
Homologietheorie
Hn (j1 )−Hn (j2 )
n (i1 )⊕Hn (i2 )
1. Exaktheit an der Stelle: −H
−−−−−−−−→ Hn (X1 , A) ⊕ Hn (X2 , A) −−−−−−−−−→
Da Hn (j1 ) ◦ Hn (i1 ) = Hn (j2 ) ◦ Hn (i2 ), ist für jedes α ∈ Hn (X0 , A)
(Hn (j1 ) − Hn (j2 ))(Hn (i1 ) ⊕ Hn (i2 ))(α)
= Hn (j1 )(Hn (i1 )(α)) − Hn (j2 )(Hn (i2 )(α)) = 0 ,
d.h. (Hn (j1 ) − Hn (j2 )) ◦ (Hn (i1 ) ⊕ Hn (i2 )) = 0.
α
Hn (i1 )
Hn (X0 , A) −−−−→ Hn (X1 , A)




Hn (i2 )y
Hn (j1 )y
Hn (X2 , A) −−−−→ Hn (X, A)
Hn (j2 )
Sei nun α1 ⊕ α2 ∈ Hn (X1 , A) ⊕ Hn (X2 , A) mit (Hn (j1 ) − Hn (j2 ))(α1 ⊕ α2 ) = 0,
d.h. α1 ∈ Hn (X1 , A) und α2 ∈ Hn (X2 , A) mit Hn (j1 )(α1 ) = Hn (j2 )(α2 ). Es gilt
(Hn (ℓ) ◦ Hn (k ′ ))(α1 ) = (Hn (k) ◦ Hn (j1 ))(α1 ) = (Hn (k) ◦ Hn (j2 ))(α2 ) = 0 ,
da Hn (k) ◦ Hn (j2 ) = 0; damit ist Hn (k ′ )(α1 ) = 0, da Hn (ℓ) ein Isomorphismus
ist. Also gibt es ein α′ ∈ Hn (X0 , A) mit Hn (i1 )(α′) = α1 . Setze α2′ = Hn (i2 )(α′ );
dann ist Hn (j2 )(α2 − α2′ ) = 0, da
Hn (j2 )(α2′ ) = Hn (j2 )(Hn (i2 )(α′ ))
= Hn (j1 )(Hn (i1 )(α′ )) = Hn (j1 )(α1 ) = Hn (j2 )(α2 ) .
Damit gibt es ein β ∈ Hn+1 (X, X2 ), so dass ∂n+1 (X, X2 , A)(β) = α2 − α2′ . Setze
α = (∂n+1 (X1 , X0 , A) ◦ Hn+1 (ℓ)−1 )(β); da Hn (i1 ) ◦ ∂n+1 (X1 , X0 , A) = 0, ist dann
Hn (i1 )(α) = 0 und
Hn (i2 )(α) = (Hn (i2 ) ◦ ∂n+1 (X1 , X0 , A) ◦ Hn+1 (ℓ)−1 )(β)
= (∂n+1 (X, X2 , A) ◦ Hn+1 (ℓ) ◦ Hn+1 (ℓ)−1 )(β) = ∂n+1 (X, X2 , A)(β)
= α2 − α2′ .
Folglich ist Hn (i1 )(α + α′ ) = α1 und Hn (i2 )(α + α′ ) = α2 − α2′ + α2′ = α2 und
dies zeigt, dass Kern (Hn (j1 ) − Hn (j2 )) ⊂ Bild (Hn (i1 ) ⊕ Hn (i2 )).
α1
α, α′
Hn (i1 )
Hn (k ′ )
Hn+1 (X1 , X0 ) −−−−−−−−−→ Hn (X0 , A) −−−−→ Hn (X1 , A) −−−−→ Hn (X1 , X0 )





H (i )
H (j )

Hn+1 (ℓ)y
Hn (ℓ)y
y n 2
y n 1
∂n+1 (X1 ,X0 ,A)
Hn+1 (X, X2 ) −−−−−−−−→ Hn (X2 , A) −−−−→ Hn (X, A) −−−→ Hn (X, X2 )
∂n+1 (X,X2 ,A)
Hn (j2 )
Hn (k)
β
α2 , α2′
19
Homologietheorie
∂n (X;X1 ,X2 )
n (j1 )−Hn (j2 )
2. Exaktheit an der Stelle: −H
−−−−−−−−→ Hn (X, A) −−−−−−−→
Da Hn (k) ◦ Hn (j2 ) = 0, ist
∂n (X; X1 , X2 ) ◦ Hn (j2 ) = ∂n (X1 , X0 , A) ◦ Hn (ℓ)−1 ◦ Hn (k) ◦ Hn (j2 ) = 0 .
∂n (X1 ,X0 ,A)
Hn (X1 , X0 ) −−−−−−−→ Hn−1 (X0 , A)
x

Hn (ℓ)−1 
Hn (X2 , A) −−−−→ Hn (X, A) −−−→ Hn (X, X2 )
Hn (j2 )
Da Hn (ℓ)
−1
Hn (k)
◦ Hn (k) ◦ Hn (j1 ) = Hn (k ′ ), ist
∂n (X; X1 , X2 ) ◦ Hn (j1 )
= ∂n (X1 , X0 , A) ◦ Hn (ℓ)−1 ◦ Hn (k) ◦ Hn (j1 ) = ∂n (X1 , X0 , A) ◦ Hn (k ′ ) = 0 .
Hn (k ′ )
∂n (X1 ,X0 ,A)
Hn (X1 , A) −−−−→ Hn (X1 , X0 ) −−−−−−−→ Hn−1 (X0 , A)
x


H (j )
−1
H
(ℓ)
n
1
n

y
Hn (X, A) −−−→ Hn (X, X2 )
Hn (k)
Also ist ∂n (X; X1 , X2 ) ◦ (Hn (j1 ) − Hn (j2 )) = 0.
Sei nun α ∈ Hn (X, A) mit ∂n (X; X1 , X2 )(α) = 0 und betrachte das Element
β = (Hn (ℓ)−1 ◦ Hn (k))(α) ∈ Hn (X1 , X0 ). Dann ist
∂n (X1 , X0 , A)(β)
= (∂n (X1 , X0 , A) ◦ Hn (ℓ)−1 ◦ Hn (k))(α) = ∂n (X; X1 , X2 )(α) = 0
und folglich gibt es α1 ∈ Hn (X1 , A) mit Hn (k ′ )(α1 ) = β. Setze α′ = Hn (j1 )(α1 );
es gilt also
Hn (k)(α′ ) = (Hn (k) ◦ Hn (j1 ))(α1 ) = (Hn (ℓ) ◦ Hn (k ′ ))(α1 )
= Hn (ℓ)(β) = Hn (ℓ)((Hn (ℓ)−1 ◦ Hn (k))(α)) = Hn (k)(α)
und damit ist Hn (k)(α′ − α) = 0. Daher gibt es ein α2 ∈ Hn (X2 , A), so dass
Hn (j2 )(α2 ) = α′ − α und daraus ergibt sich, dass
α = α′ − Hn (j2 )(α2 ) = Hn (j2 )(α1 ) − Hn (j2 )(α2 ) .
Mit anderen Worten: α1 ⊕ α2 is ein Element von Hn (X1 , A) ⊕ Hn (X2 , A) mit
(Hn (j1 )⊕Hn (j2 ))(α1 ⊕α2 ) = α, d.h. Kern ∂n (X; X1 , X2 ) ⊂ Bild (Hn (j1 )−Hn (j2 )).
α1
β
Hn (k ′ )
∂n (X1 ,X0 ,A)
Hn (X0 , A) −−−−→ Hn (X1 , A) −−−−→ Hn (X1 , X0 ) −−−−−−−→ Hn−1 (X0 , A)




H (i )
H (j )


Hn (ℓ)y
Hn−1 (i2 )y
y n 2
y n 1
Hn (i1 )
Hn (X2 , A) −−−−→ Hn (X, A) −−−→ Hn (X, X2 )
Hn (j2 )
Hn (k)
α′ , α
α2
−−−−−−−→ Hn−1 (X2 , A)
∂n (X,X2 ,A)
20
Homologietheorie
Hn−1 (i1 )⊕Hn−1 (i2 )
n (X;X1 ,X2 )
3. Exaktheit an der Stelle: −∂−
−−−−−→ Hn−1 (X0 , A) −−−−−−−−−−−→
Da Hn−1 (i1 ) ◦ ∂n (X1 , X0 , A) = 0, ist
Hn−1 (i1 ) ◦ ∂n (X; X1 , X2 ) = Hn−1 (i1 ) ◦ ∂n (X1 , X0 , A) ◦ Hn (ℓ)−1 ◦ Hn (k) = 0 .
∂n (X1 ,X0 ,A)
Hn−1 (i1 )
Hn (X1 , X0 ) −−−−−−−→ Hn−1 (X0 , A) −−−−−→ Hn−1 (X1 , A)
x

Hn (ℓ)−1 
Hn (X, A) −−−→ Hn (X, X2 )
Hn (k)
Da Hn−1 (i2 ) ◦ ∂n (X1 , X0 , A) ◦ Hn (ℓ)−1 = ∂n (X, X2 , A), ist
Hn−1 (i2 ) ◦ ∂n (X; X1, X2 )
= Hn−1 (i2 ) ◦ ∂n (X1 , X0 , A) ◦ Hn (ℓ)−1 ◦ Hn (k) = ∂n (X, X2 , A) ◦ Hn (k) = 0 .
∂n (X1 ,X0 ,A)
Hn (X1 , X0 ) −−−−−−−→ Hn−1 (X0 , A)
x



Hn−1 (i2 )y
Hn (ℓ)−1 
Hn (X, A) −−−→ Hn (X, X2 ) −−−−−−−→ Hn−1 (X2 , A)
Hn (k)
∂n (X,X2 ,A)
Damit ist (Hn−1 (i1 ) ⊕ Hn−1 (i2 )) ◦ ∂n (X; X1 , X2 ) = 0.
Sei nun α ∈ Hn−1 (X0 , A) mit (Hn−1 (i1 ) ⊕ Hn−1 (i2 ))(α) = 0, und folglich ist
Hn−1 (i1 )(α) = 0 und Hn−1 (i2 )(α) = 0. Da Hn−1 (i1 )(α) = 0, gibt es dann ein
α1 ∈ Hn (X1 , X0 ), so dass ∂n (X1 , X0 , A)(α1 ) = α. Setze α2 = Hn (ℓ)(α1 ); es gilt
∂n (X, X2 , A)(α2 ) = (∂n (X, X2 , A) ◦ Hn (ℓ))(α1 )
= (Hn−1 (i2 ) ◦ ∂n (X1 , X0 , A))(α1 ) = Hn−1 (i2 )(α) = 0
und also gibt es ein α′ ∈ Hn (X, A) mit Hn (k)(α′ ) = α2 . Damit ist
∂n (X; X1 , X2 )(α′ ) = (∂n (X1 , X0 , A) ◦ Hn (ℓ)−1 ◦ Hn (k))(α′ )
= (∂n (X1 , X0 , A) ◦ Hn (ℓ)−1 )(α2 ) = ∂n (X1 , X0 , A)(α1 ) = α
und dies zeigt, dass Kern (Hn−1 (j1 ) ⊕ Hn−1 (j2 )) ⊂ Bild ∂n (X; X1 , X2 ).
α1
α
∂n (X1 ,X0 ,A)
Hn−1 (i1 )
Hn (X1 , A) −−−−→ Hn (X1 , X0 ) −−−−−−−→ Hn−1 (X0 , A) −−−−−→ Hn−1 (X1 , A)




H (j )



H
(ℓ)
H
(i
)
H
(j
)
n
n−1 2 y
n−1 1 y
y n 1
y
Hn (k ′ )
Hn (X, A) −−−→ Hn (X, X2 )
Hn (k)
α2
α′
−−−−−−−→ Hn−1 (X2 , A) −−−−−→ Hn−1 (X, A)
∂n (X,X2 ,A)
Hn−1 (j2 )
21
Homologietheorie
Lemma 4 Sei (X, U, A) ein Tripel mit A Deformationsretrakt von U. Dann ist
Hn (U, A) = 0 und Hn (j) : Hn (X, U) → Hn (X, A) ist ein Isomorphismus für alle
n ∈ Z.
Beweis Sei i : A → U die Inklusion. Da A Deformationsretrakt von U ist, gibt
es ein stetige Abbildung r : U → A, so dass r ◦ i = idA und i ◦ r ≃ idU . Dann ist
Hn (r) ◦ Hn (i) = Hn (r ◦ i) = Hn (idA ) = id und nach der Homotopieinvarianz ist
Hn (i) ◦ Hn (r) = Hn (i ◦ r) = Hn (idU ) = id. Damit ist Hn (i) : Hn (A) → Hn (U)
ein Isomorphismus für jedes n ∈ Z. Nun gibt es die lange exakte Folge
∂n+1 (U,A)
Hn (i)
Hn (j)
· · · −−−−−−→ Hn (A) −−−→ Hn (U) −−−→ Hn (U, A)
∂n (U,A)
Hn−1 (i)
Hn−1 (j)
−−−−→ Hn−1 (A) −−−−→ Hn−1 (U) −−−−−→ · · ·
und Hn (i) ist ein Isomorphismus für jedes n ∈ Z. Folglich ist Hn (U, A) = 0 für
alle n ∈ Z. Es gibt auch die lange exakte Folge
∂n+1 (X,U,A)
Hn (i)
Hn (j)
· · · −−−−−−−→ Hn (U, A) −−−→ Hn (X, A) −−−→ Hn (X, U)
∂n (X,U,A)
Hn−1 (i)
Hn−1 (j)
−−−−−−→ Hn−1 (U, A) −−−−→ Hn−1 (X, A) −−−−−→ · · ·
und Hn (U, A) = 0 für alle n ∈ Z. Folglich ist Hn (j) : Hn (X, U) → Hn (X, A) ein
Isomorphismus für alle n ∈ Z.
Satz 3 Sei X ein topologischer Raum und X1 , X2 abgeschlossene Unterräume
von X mit X = X1 ∪ X2 . Nehme an, es gibt eine offene Menge V in X mit
X2 ⊂ V , so dass X2 Deformationsretrakt von V ist. Dann ist (X; X1 , X2 ) eine
excisive Triade.
Beweis Setze X0 = X1 ∩ X2 und sei ℓ : (X1 , X0 ) → (X, X2 ) die Inklusion. Wir
müssen zeigen, dass Hn (ℓ) : Hn (X1 , X0 ) → Hn (X, X2 ) ein Isomorphismus ist für
jedes n ∈ Z. Sei U = V ∩ X1 ; dann ist U offen in X1 mit X0 ⊂ U und X0 ist
Deformationsretrakt von U. Ferner gilt X1 \ X0 = X \ X2 und U \ X0 = V \ X2 .
Betrachte die Inklusionen
j1 : (X1 , X0 ) → (X1 , U) , j2 : (X, X2 ) → (X, V ) ,
i1 : (X1 \ X0 , U \ X0 ) → (X1 , U) , i2 : (X \ X2 , V \ X2 ) → (X, V ) ,
k : (X1 , U) → (X, V ) .
Dann gibt es ein kommutatives Diagramm
j1
i
(X1 , X0 ) −−−→ (X1 , U) ←−1−− (X1 \ X0 , U \ X0 )




ℓy
yk
(X, X2 ) −−−→ (X, V ) ←−−− (X \ X2 , V \ X2 )
j2
i2
22
Homologietheorie
und folglich gibt es ein kommutatives Diagramm
Hn (j1 )
Hn (i1 )
Hn (X1 , X0 ) −−−−→ Hn (X1 , U) ←−−−− Hn (X1 \ X0 , U \ X0 )



H (k)


Hn (ℓ)y
y n
yid
Hn (X, X2 ) −−−−→ Hn (X, V ) ←−−−− Hn (X \ X2 , V \ X2 )
Hn (j2 )
Hn (i2 )
Nach Lemma 4 sind
Hn (j1 ) : Hn (X1 , X0 ) → Hn (X1 , U) und Hn (j2 ) : Hn (X, X2 ) → Hn (X, V )
Isomorphismen und nach dem Ausschneidungsaxiom sind
Hn (i1 ) : Hn (X1 \ X0 , U \ X0 ) → Hn (X1 , U) und
Hn (i2 ) : Hn (X \ X2 , V \ X2 ) → Hn (X, V )
beide Isomorphismen. Folglich ist Hn (k) : Hn (X1 , U) → Hn (X, V ) und damit
auch Hn (ℓ) : Hn (X1 , X0 ) → Hn (X, X2 ) ein Isomorphismus.