Algebraische Topologie im SS 2010 Übungsblatt 9

Prof. Dr. Helge Glöckner, Universität Paderborn
14. Juni 2010
Algebraische Topologie im SS 2010
Übungsblatt 9
Präsenzübung
Aufgabe 9.1
Gegeben einen punktierten topologischen Raum (X, x) sei F (X, x) := C(x) ⊆ X die Zusammenhangskomponente von x. Gegeben einen Morphismus f : (X, x) → (Y, y) punktierter topologischer Räume (also
C(y)
eine stetige Abbildung f : X → Y mit f (x) = y) sei F (f ) die Abbildung f |C(x) : C(x) → C(y). Zeigen Sie,
dass F sinnvoll definiert ist und ein Funktor von Top0 nach Top.
Aufgabe 9.2
Es sei (X, ≤) eine partiell geordnete Menge. Zeigen Sie, dass man wie folgt eine Kategorie X erhält: Als
Klasse von Objekten nimmt man die Menge X. Gegeben x, y ∈ X gebe es einen Morphismus von x nach
y genau dann, wenn x ≥ y (und dies sei dann auch der einzige Morphismus). Die Verknüpfung ist dann
schon festgelegt. Sei nun auch (Y, ≤) eine partiell geordnete Menge, F : X → Y ein Funktor und
f : X → Y,
x 7→ F (x)
die zum Funktor gehörige Abbildung zwischen den Klassen von Objekten. Zeigen Sie, dass f eine ordnungserhaltende Abbildung ist. Lässt sich jede ordnungserhaltende Abbildung so erhalten ?
Aufgabe 9.3
Es seien (X, x) und (Y, y) punktierte topologische Räume. In dieser Aufgabe soll gezeigt werden, dass
die Gruppen π1 (X × Y, (x, y)) und π1 (X, x) × π1 (Y, y) isomorph sind. Hierzu sei p : X × Y → X und
q : X × Y → Y die Projektion auf die erste bzw. zweite Komponente und
Φ := (p∗ , q∗ ) : π1 (X × Y, (x, y)) → π1 (X, x) × π1 (Y, y) .
(a) Zeigen Sie, dass Φ surjektiv ist.
(b) Zeigen Sie: Ist F1 eine Homotopie relativ {0, 1} von einem Weg γ1 in X zu einem Weg η1 , und ist
F2 eine Homotopie relativ {0, 1} von einem Weg γ2 in Y zu einem Weg η2 , so ist F = (F1 , F2 ) eine
Homotopie relative {0, 1} von (γ1 , γ2 ) nach (η1 , η2 ).
(c) Zeigen Sie, dass Φ auch injektiv ist und somit ein Isomorphismus.
(Analoges gilt für höhere Homotopiegruppen πn ).
Hausübung
Aufgabe 9.4
(a) Es sei G ein Gruppoid über der Menge X mit den Abbildungen α : G → X (Anfangspunkt) und
ε : G → X (Endpunkt). Zeigen Sie, dass man eine Kategorie erhält, wenn man X als Menge von
Objekten nimmt und Mor(x, y) definiert als die Menge aller g ∈ G mit α(g) = x und ε(g) = y. Die
Verknüpfung ist f ◦ g := gf für f, g ∈ G mit ε(g) = α(f ).
(b) Zeigen Sie, dass in der Kategorie aus (a) jeder Morphismus g : x → y ein Isomorphismus ist (d.h.
es existiert ein Morphismus h : y → x mit h ◦ g = idx , g ◦ h = idy ). Zudem ist dies eine sogenannte
kleine Kategorie, d.h. die Klasse der Objekte ist eine Menge.
(c) Sei nun umgekehrt eine kleine Kategorie gegeben mit der Menge X von Objekten. Angenommen,
jeder Morphismus ist ein Isomorphismus. Zeigen Sie, dass sich dann die Menge G aller Morphismen
als Gruppoid auffassen lässt.
Aufgabe 9.5
In dieser Aufgabe sei M ein Monoid, d.h. M ist eine Menge, auf welcher eine assoziative Verknüpfung
µ : M × M → M gegeben ist, für welche ein Neutralelement e ∈ M existiert. Weiter sei M mit einer
Topologie versehen, die µ stetig macht (d.h. M ist ein topologisches Monoid). In dieser Aufgabe soll
gezeigt werden, dass π1 (M, e) kommutativ ist. Insbesondere ist also die Fundamentalgruppe π1 (S1 , 1) des
Kreises kommutativ (wir werden später sehen, dass diese zu (Z, +) isomorph ist). Anleitung:
(a) Gegeben seien geschlossene Wege γ, η an der Stelle e in M . Weiter sei ce der konstante Weg. Rechnen
Sie nach, dass µ ◦ (γ.ce , ce .η) = γ.η und µ ◦ (ce .γ, η.ce ) = η.γ (wobei der Punkt wie immer das
Hintereinanderhängen von Wegen meint).
(b) Folgern Sie, dass [γ][η] = µ∗ ([(γ, η)]) = [η][γ].