Aufgaben zur Vorlesung Topologie I

Aufgaben zur Vorlesung
Topologie I
Blatt 8
Wintersemester 2014/2015
A. Bartels / U. Pennig
Abgabe: Donnerstag, den 11.12.2014
Aufgabe 1. Eine (nicht notwendigerweise assoziative) Algebra ist ein Vektorraum A
über einem Körper K, zusammen mit einer bilinearen Abbildung ∗ : A × A → A und
einem Element e ∈ A, so dass e ∗ a = a ∗ e = a. Sei A eine endlich-dimensionale Algebra,
dann heißt A Divisionsalgebra, falls gilt a ∗ b = 0 ⇒ a = 0 oder b = 0 (d.h. A ist
nullteilerfrei). Beweisen Sie: Ist (Rn , ∗) für n > 1 eine Divisionsalgebra (über R), dann ist
n gerade. Konstruieren Sie hierzu ein Vektorfeld ohne Nullstellen auf S n−1 ⊂ Rn , indem
sie v ∗ x ∈ Rn für geeignetes v ∈ Rn auf Tx S n−1 projizieren.
Aufgabe 2. Sei ∆n der Standardsimplex, ∂∆n sein Rand und sei Λnn ⊂ ∂∆n der simpliziale Unterkomplex, bei dem die Seite fehlt, die n gegenüberliegt, d.h. Λnn = (VΛ , ΣΛ ) mit
VΛ = {0, . . . , n} und ΣΛ = P({0, . . . , n}) \ {∅, {0, . . . , n}, {0, . . . , n − 1}}.
(a) Zeigen Sie, dass durch id∆n : |∆n | → |∆n | ein Element [id∆n ] ∈ Hn (|∆n |, |∂∆n |) gegeben ist.
(b) Beweisen Sie, dass H0 (|∆0 |) = H0 (|∆0 |, ∅) = {a [id∆0 ] ∈ H0 (|∆0 |) | a ∈ Z} gilt.
e n−1 (|∂∆n |) die Randabbildung zum Paar (|∆n |, |∂∆n |),
(c) Sei ∂n : Hn (|∆n |, |∂∆n |) → H
e n−1 (ι) : H
e n−1 (|∂∆n |) → Hn−1 (|∂∆n |, |Λn |) induziert durch die Inklusion und sei
sei H
n
Hn−1 (τ, τ ||∂∆n−1 | ) induziert durch die Abbildung τ : (|∆n−1 |, |∂∆n−1 |) → (|∂∆n |, |Λnn |),
die ∆n−1 auf die Seite abbildet, die n gegenüberliegt (auf den Vertizes wird sie induziert durch die Inklusion {0, . . . , n−1} → {0, . . . , n}). Zeigen Sie, dass die Abbildungen
e n−1 (ι) und ∂n Isomorphismen sind.
τ∗ = Hn−1 (τ, τ ||∂∆n−1 | ), ι∗ = H
(d) Zeigen Sie, dass (ι∗ ◦ ∂n )([id∆n ]) = (−1)n τ∗ ([id∆n−1 ]) und folgern Sie hieraus, dass
gilt: Hn (|∆n |, |∂∆n |) = {a[id∆n ] | a ∈ Z}.
Aufgabe 3. Sei der topologische Raum X die Vereinigung von offenen Mengen U0 , . . . , Un .
T
Für I ⊂ {0, . . . , n} sei UI = i∈I Ui . Zeigen Sie: Ist Hk (UI ) = 0 für alle Teilmengen
∅ 6= I ⊂ {0, . . . , n} und alle k > 0, dann folgt Hk (X) = 0 für k > n. Eine solche
Überdeckung heißt auch azyklisch.
Aufgabe 4. Sei R0 : S 1 → S 1 die Reflektionsabbildung aus der Vorlesung. Die Kleinsche
Flasche K kann definiert werden als K = S 1 × [0, 1]/∼, wobei die Äquivalenzrelation die
Punkte (x, 0) und (R0 (x), 1) identifiziert. Berechnen Sie Hi (K) für alle i ≥ 0.
Nikolausaufgabe
Berechnen Sie die Eulercharakteristik des Hauses vom Nikolaus.