Aufgaben Klasse 11, 27. Blatt

Aufgaben Klasse 11, 27. Blatt
Aufgabe 27.1
Alle Punkte der Ebene seien rot oder blau gefärbt. Beweise, daß es (wenigstens) eine Farbe
derart gibt, daß es zu jeder reellen Zahl r > 0 zwei Punkte dieser Farbe gibt, deren Abstand r
ist.
Aufgabe 27.2
Gegeben sind drei Strahlen mit gemeinsamem Scheitel S, die eine Gerade (unterhalb des Scheitels) schneiden. Die Schnittpunkte der Strahlen mit der Geraden sind (von links nach rechts)
A, B, C, D. Es sei a = AB, x = BC, b = CD. Die Winkel zwischen den Strahlen sind (von
links nach rechts) α (gegenüber a), θ (gegenüber x) und β (gegenüber b).
Gegeben seien a, b, α, θ und β. Gesucht ist x.
Hintergrund: Man kann sich z.B. vorstellen, daß man die Länge BC ermitteln möchte, sie
aber nicht direkt messen kann, weil sie durch ein unzugängliches Gebiet führt.
Am letzten Schultag, dem 12. Juni, beschäftigen wir uns mit Chaos, Katastrophen, Fraktalen
und ähnlichem. Zur Vorbereitung dienen die folgenden beiden Aufgaben.
Aufgabe 27.3
Es sei eine Folge natürlicher Zahlen xn rekursiv gegeben durch einen Anfangswert x0 und die
Rekursionsvorschrift
(
1
xn
falls 2|xn
xn+1 = 21
(3xn + 1) falls 2 6 |xn
2
Die Anfangswerte 1 oder 2 bilden eine zyklische Folge. Berechne die ersten 25 Glieder für die
Anfangswerte x0 = 11 und x0 = 19.
Aufgabe 27.4
Es sei a ∈ [0, 4] und eine Folge hn rekursiv gegeben durch
hn+1 = ahn (1 − hn )
mit einem Anfangswert h0 ∈ [0, 1]. Beweise, daß hn ∈ [0, 1] und berechne den Grenzwert lim hn
n→∞
unter der Annahme, daß er existiert.
Dr. Holger Stephan
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