Algebraische Topologie Blatt 3 - math.uni

Prof. Dr. B. Hanke
Algebraische Topologie
Blatt 3
Übung 1. Man zeige, dass Hn (R, Q) = 0, falls n > 1 oder n = 0, und dass H1 (R, Q) eine freie abelsche Gruppe
ist. Man gebe eine Basis dieser Gruppe an.
Übung 2.
a) Es sei (X, A) ein Raumpaar. Man zeige, dass für alle n die kurze exakte Sequenz 0 → Cn (A) →
Cn (X) → Cn (X, A) → 0 spaltet. Hinweis: Konstruieren sie eine geeignete Abbildung r : Cn (X) → Cn (A)
wie im Teil b) von Aufgabe 4 auf Blatt 2 beschrieben, indem sie gewisse singuläre Simplizes in X auf 0
und gewisse andere auf sich selbst abbilden.
b) Man beweise oder widerlege: Es sei 0 → A∗ → B∗ → C∗ → 0 eine kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen so dass die kurze exakte Sequenz 0 → An → Bn → Cn für alle n ≥ 0 spaltet. Insbesondere gilt also
Bn ∼
= An ⊕ Cn für alle n. Dann ist die induzierte Sequenz 0 → Hn (A) → Hn (B) → Hn (C) → 0 für alle
n ≥ 0 exakt. Vergleiche dazu Teil a).
c) Man formuliere eine zusätzliche Bedingung an die spaltenden Abbildungen pn : Cn → Bn von b), unter
der alle Sequenzen 0 → Hn (A) → Hn (B) → Hn (C) → 0 exakt werden. Man begründe die Antwort.
Übung 3. Wir betrachten die Funktoren Hn (−) : T op(2) → AbGp, (X, A) 7→ Hn (A) (diese etwas merkwürdige
Setzung ist nur für die vorliegende Aufgabe relevant) sowie Hn (−, −) : T op(2) → AbGp, (X, A) 7→ Hn (X, A),
wobei n ≥ 0. Man zeige, dass für n ≥ 1 der verbindende Homomorphismus ∂n eine natürliche Transformation
Hn (−, −) → Hn−1 (−) ist (von Funktoren T op(2) → AbGp). Vgl. Skript Einführung in die Topologie“, Kapitel
”
12.
Übung 4. Es seien X ein topologischer Raum und A ⊂ X und B ⊂ A Teilräume. Man zeige, dass die
offensichtlichen Inklusionen von Raumpaaren eine kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen
0 → C∗ (A, B) → C∗ (X, B) → C∗ (X, A) → 0
induzieren und leite die Existenz einer langen exakten Sequenz
. . . → Hn (A, B) → Hn (X, B) → Hn (X, A) → Hn−1 (A, B) → . . .
her. Wenden Sie dies auf den Fall X := Dn ⊂ Rn (abgeschlossener Einheitsball), A := Dn \ {0} und B :=
S n−1 ⊂ Dn an (wobei n ≥ 1), um zu folgern, dass die Inklusion
i : (Dn , S n−1 ) → (Dn , Dn \ {0})
Isomorphismen von relativen Homologiegruppen in allen Graden induziert. Ist i eine Homotopieäquivalenz von
Raumpaaren? D.h. gibt es eine stetige Abbildung von Raumpaaren (Dn , Dn \ {0}) → (Dn , S n ), so dass die
Kompositionen mit i homotop zur Identität sind (durch Homotopien von Abbildungen zwischen Raumpaaren)?
Begründen Sie Ihre Antwort.
Abgabe spätestens Mittwoch, den 29. Oktober, um 10 Uhr im Übungskasten im Erdgeschoss.