Übung 5 - Universität Bonn

Physikalisches Institut
Universität Bonn
Theoretische Physik
Hausaufgabe 5
11. Mai 2016
SS 16
Übungen zur Vorlesung Quantenmechanik
und statistische
Mechanik
Prof. Herbert Dreiner, PD Dr. Stefan Förste, Sebastian Belkner, René Laufenberg
http://www.th.physik.uni-bonn.de/people/sbelkner/QMSMSS16/
Hausaufgabe
Bis 12:00Uhr, 25. Mai 2016
H 5.1 Potentialtopf - antisym. Wellengleichungen
1+1+1+0.5+1.5+2+1 = 8 Punkte
In der Vorlesung wurde das Problem des Potentialtopfs für gebundene Zustände behandelt. Die
Lösung für symmetrische Eigenfunktionen des Hamiltonoperators wurde gezeigt. In dieser Übung
sollen die antisymmetrischen Eigenfunktionen betrachtet werden.
(a) Als Wiederholung soll zunächst die zeitunabhängige Schrödingergleichung aufgestellt und betrachtet werden. Sei das Potential gegeben durch
V (x) =
−V0 , für |x| ≤ a
,
0, für |x| > a
(1)
wobei V0 > 0 ist. Zeichne eine Skizze des Problems und unterteile es in drei Regionen. Stelle die
Schrödingergleichungen für die unterschiedlichen Regionen auf. Welche Bedingung gilt für die
Energie E , sodass die Zustände gebunden sind? Nutze den Ansatz ψj (x) = Aj eikj x +Bj e−ikj x ,
wobei j die Region indiziert. Der Aj -Term kann als eine von links einlaufende Welle und der
Bj -Term als eine von rechts einlaufende Welle interpretiert werden.
(b) Wir interessieren uns im Folgenden für die antisymmetrischen Wellenfunktionen, d.h. ψ(x) =
−ψ(−x). Nutze die Symmetrie und vereinfache die ψj (x) so weit wie möglich.
(c) Stelle die Randbedingungen für normierbare Wellenfunktionen auf, die an den Stellen |x| = a
einen stetigen Übergang haben sollen.
(d) Zeichne eine mögliche Wellenfunktion in deine Skizze.
(e) Nutze die Randbedingungen und zeige, dass daraus die Bedingung
k1/3 = −k2 cot(k2 a),
(2)
folgt, wobei cot(·) der Kotangens ist. Der Index 1/3 bedeutet, dass entweder k1 oder k3 für die
Gleichung benutzt werden kann.
(f) Die Gleichung ist transendent und somit nicht ohne weiteres lösbar. Substituiere, ζ = ak2 und
η = ak1/3 . Berechne ζ 2 + η 2 . Zeichne η und ζ 2 + η 2 in die ζ, η -Ebene und argumentiere, warum
die Schnittpunkte die Lösung für Gl.(2) sind.
(g) Vergleiche die Lösungen mit den Lösungen für die symmetrsichen Wellengleichungen aus der
Vorlesung. Welche Lösungen haben eine höhere Energie? Was ist die Bedingung für mindestens
eine anitsymmetrische Lösung?
1
H 5.2 Hürdenlauf in der Quantenmechanik
0.5+1+1.5+2+2+1.5+2.5 = 12 Punkte
Im Folgenden betrachten wir die Reektion und Transmission einer von links kommenden Welle
an einer Potentialwand. Die Energie E der Welle sei 0 < E < V0 .
(a) Das Potential sei gegeben durch
V (x) =
V0 , für |x| ≤ a
0, für |x| > a
(3)
wobei V0 > 0. Zeichne eine Skizze.
(b) Die Wellengleichung in Abhängigkeit der verschiedenen Regionen sind gegeben durch,

 ψ1 (x), x < −a
ψ2 (x), −a < x < a .
ψ(x) =

ψ3 (x), x > a
(4)
Benutze den gleichen Ansatz wie in H5.1(a) und zeige, dass

 A1 eikx + B1 e−ikx , x < −a
A2 e−κx + B2 eκx , −a < x < a .
ψ(x) =

A3 eikx + B3 e−ikx , x > a
(5)
Welche Bedingungen folgen für k und κ aus der Schrödinger-Gleichung?
(c) Nutze die Stetigkeitsbedingungen, d.h.,
ψ1 (−a) = ψ2 (−a), ψ2 (a) = ψ3 (a),
d
d
d
=
,
=
,
ψ2 (x)
ψ2 (x)
ψ3 (x)
dx
dx
dx
x=−a
x=−a
x=a
x=a
d
ψ1 (x)
dx
(6)
(7)
und nde die Matrixgleichungen,
A
C
ΛI (−a)
= ΓI (−a)
,
B
D
C
E
ΛII (a)
= ΓII (a)
,
D
F
(8)
(9)
wobei die Λi (·) und Γi (·), i ∈ (I, II) Matrizen sind und explizit bestimmt werden sollen.
Hinweis: Analoges wurde bereits auf dem zweiten Übungsblatt behandelt, als die Matrixgleichung für
das Doppelpendel aufgestellt wurde.
(d) Stelle die Gleichungen um, sodass,
A
C
= ΣI (−a)
,
B
D
F
C
= ΣII (a)
,
G
D
(10)
(11)
ist. Berechne die Σi , i ∈ (I, II) explizit. Hinweis: Matrix invertieren!
(e) Setze Gl.(11) in Gl.(10) ein und bestimme die Matrix Π, die die folgende Gleichung erfüllt,
A
F
=Π
.
B
G
2
(12)
(f) Substituiere
κ k
− ,
k
κ
κ k
η := + .
k
κ
(13)
:=
(14)
Welche der Amplituden kann auf null gesetzt werden, wenn die Welle zu Beginn von links
einläuft? Zeige, dass die Substitution zu den folgenden Gleichungen führt,
i
cosh(2κa) + sinh(2κa) e2ika ,
2
iη
B = −F
sinh(2κa).
2
(15)
A=F
(16)
(g) Setze A = 1 und berechne die Transmissionsamplitude
S(E) :=
F
.
A
(17)
Bestimme den Durchlässigkeitskoezienten |S(E)|2 . Finde die Reektionsamplitude R(E) und
zeige, dass die Gesamtamplitude unverändert bleibt, d.h. |S(E)|2 + |R(E)|2 = 1. Die Welle
wird also entweder reektiert oder transmittiert.
1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 10 Punkte
H 5.3 Matrix Diagonalisieren
(a) Sei A ∈ R3×3 gegeben durch

4
0
2
(i) Berechne die Eigenwerte von A.

−2 2
2 0 .
−2 4
(18)
Hinweis: Die Determinante einer 3x3-Matrix lässt sich mit
Hilfe der Sarrus-Regel bestimmen. Es gilt:

a
Det d
g
b
e
h

c
f  = a · e · i + b · f · g + c · d · h − c · e · g − b · d · i − a · f · h
i
.
(ii) Bestimme die Eigenvektoren von A.
Alle Eigenvektoren zu einem Eigenwert bilden einen Unterraum, den sogenannten Eigenraum. Als Unterraum besitzen die Räume auch eine Basis. Gib' die auf 1 normierten
Basisvektoren dieser Eigenräume an.
(iii) Schreibe die normierten Basisvektoren nebeneinander und schreibe sie als Matrix zusammen. Sie bilden somit die Basistransformations-Matrix D. Bestimme D−1 . Hinweis: Die
inverse Matrix zu D besitzt bei einer einfachen Wahl der Basisvektoren die Spalten
  √1   1 
√
− 2
2
2  
 0 ,
√
0 
,
 2 
1
√
√1
− √12
2

√1
2
(19)
2
möglicherweise in einer anderen Reihenfolge. Aber Achtung: Die Angabe solcher Matrizen ist
immer abhängig von der eigenen Wahl der Basisvektoren. Daher müssen diese Spalten nicht mit
den Spalten eurer inversen Matrix übereinstimmen.
(iv) Berechne B = D−1 AD.
3
(b) Sei nun A eine beliebige hermitesche Matrix aus Cn×n . Da jedes Polynom über
faktoren zerfällt, besitzt die Matrix A auch n Eigenwerte λ1 ,...,λn ∈ C.
C in Linear-
(i) Seien v 1 und v 2 Eigenvektoren von A zu den Eigenwerten λ1 und λ2 .
Zeige, dass v 1 und v 2 orthogonal zueinander sind, wenn λ1 6= λ2 . Hinweis:
hv1 , Av2 i
Starte mit
.
(ii) Mit dem vorherigen Ergebnis können die Eigenvektoren von A nun so gewählt werden,
dass sie orthogonal zueinander sind. (Eigenvektoren zu gleichen Eigenwerten können
gemäÿ des Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahrens orthogonalisiert werden).
Sei nun (v 1 , ..., v n ) eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von A. Die Basistransformationsmatrix


|
U = v 1
|
|
...
|
|
v n
|
soll aus den spaltenweise aufgereihten Basisvektoren bestehen.
Zeige, dass U unitär ist.
(iii) Sei nun B = U −1 AU mit der unitären Transformationsmatrix aus dem vorherigen Aufgabenteil. Zeige, dass B ebenfalls hermitesch ist.
Die Eigenschaft von A hermitesch zu sein, vererbt sich also durch die unitäre Basistransformation auf die Matrix B .
(iv) B hat nach Konstruktion Diagonalgestalt und ist nach der vorherigen Aufgabe ebenfalls
hermitesch.
Was bedeutet, dass für die Eigenwerte von A bzw. B ?
4