Lineare Algebra 2 SS2012 ¨Ubungsblatt №6 ¨Ubung 32. Sei K = Z 7
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Lineare Algebra 2
SS2012
Übung 32.
Sei K = Z7 und
Bestimme eine Matrix M ∈ K3×3
Übungsblatt №6
5 5 3
A = 3 0 3
4 2 6
−1
sodaß M AM eine Diagonalmatrix ist.
Übung 33.
Die
einer reellen oder komplexen Matrix ist definiert durch exp A =
P∞Exponentialfunktion
An
.
Berechne
exp
A
für die Matrix
n=0 n!
0 −α
A=
α 0
mit α ∈ R.
Übung 34.
Bestimme alle Eigenwerte und Eigenvektoren der linearen Abbildung
S : C∞ → C∞
(z1 , z2 , . . . ) 7→ (z2 , z3 , . . . )
Übung 35.
Sei A eine n × n-Matrix über einem Körper K, v ein Links- und w ein Rechtseigenvektor
zu verschiedenen Eigenwerten λ und µ, d.h.†
v t A = λv t
Aw = µw.
Zeige, daß v t w = 0.
Übung 36.
(a) Sei V ein Vektorraum und f : V → V eine lineare Abbildung, sodaß jeder Vektor
v ∈ V ein Eigenvektor ist. Zeige, daß f ein Vielfaches der identischen Abbildung ist.
(b) Sei A eine n × n-Matrix, sodaß jeder (n − 1)-dimensionale Unterraum invariant ist.
Zeige, daß A ein Vielfaches der Einheitsmatrix ist.
Hinweis: Gegenteil annehmen und (a) benutzen.
Übung 37.
Sei A eine n × n-Matrix über einem Körper K. Zeige, daß folgende Aussagen äquivalent
sind:
(i) A besitzt Rang 1
(ii) Der Eigenwert 0 hat geometrische Vielfachheit n − 1
(iii) Es gibt Vektoren v, w ∈ Kn \ {0} soda߆ A = vwt .
Wieviele weitere Eigenwerte gibt es? Wie sehen ggf. die zugehörigen Eigenvektoren aus?
Übung 38.
Sei A eine diagonalisierbare n×n-Matrix über einem Körper K mit (Rechts-)Eigenvektoren
v1 , v2 , . . . , vn . Zeige, daß A auch n Linkseigenvektoren besitzt.
† Hier werden Spaltenvektoren als n × 1-Matrizen aufgefaßt
