Aufgaben zur Vorbereitung Abschlussklausur am 09.08.2014 (Teil 1)

Mathematik II für Studierende der Informatik
(Analysis und Lineare Algebra)
Steven Köhler
Sommersemester 2014
Aufgaben zur Vorbereitung der Abschlussklausur am 09.08.2014 (Teil 1)
1. Finde den Grenzwert der Folge (an )n∈N mit
an =
n2
−1
4n2
und zeige mithilfe der Definition der Konvergenz, dass es sich bei dem gefundenen Wert tatsächlich
um den Grenzwert handelt.
2. Zeige mithilfe des Satzes über monotone, beschränkte Folgen, dass die Folge (an )n∈N konvergiert.
a1
=
an+1
=
2
a 2
n
3
+1
3. Die Funktionen f : R → R und g : R → R seien definiert durch

2
√
3
, für x 6= 0;
x · sin
x2
f (x) =

0
, für x = 0;

cos 2
, für x 6= 0;
x2
g(x) =

0
, für x = 0.
An welchen Stellen ist f stetig, an welchen Stellen ist f unstetig? Begründe deine Antwort. Analog
für g.
4. Entscheide, ob die folgende Funktion f : R → R an der Stelle x0 =
5x − 12 f (x) = 4
5. Berechne
ZZ
12
5
differenzierbar ist:
f (x, y) d(x, y) auf zwei Arten. Hierbei gelte
G
2
f (x, y) = (x + 1) · y
und die Grundfläche G sei definiert durch die Punkte (1, 1), (3, 1) und (5, 5).
6. a) Es seien z1 = 6 + i und z2 = 2 − 3i zwei komplexe Zahlen. Berechne z1 + z2 , z1 − z2 , z1 · z2 sowie
z1
z2 . Gib die Ergebnisse jeweils in der Form z = a + ib an.
b) Gegeben seien die beiden komplexen Zahlen z1 = 3 − 3i und z2 = 5 cos π8 + i sin π8 .
(i) Bestimme Betrag und Argument von z = z13 · z2 .
(ii) Es sei z = z1 − z2 . Gib z in der Form a + ib an.
c) Bestimme das Produkt AB der beiden Matrizen A und B:
3+i
2i
1+i
und
B=
A=
i
2−i
5
1
.
1+i
7. Bringe die folgenden Funktionen bezüglich ihres Wachstumsverhaltens in eine aufsteigende Reihenfolge, d.h., es soll gelten: Steht f (n) vor g(n), so soll f (n) ∈ O(g(n)) gelten.
f1 (n) = n3
f2 (n) = n log n
f3 (n) = nlog n
√
f4 (n) = n
f5 (n) = 22
n
f6 (n) = 2n
f7 (n) = 3log n
f8 (n) = n!