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Campus Essen / Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. Dieter Lutz
Essen, 31. Mai 2005
Mathematik für Systems Engineering II
8. Übung
Die nachfolgenden Aufgaben sind für die Übungsstunden in der Woche vom 06.06. –
10.06.05 schriftlich vorzubereiten und werden dort besprochen.
1. Das Integral
2
I   x 2 e x dx
0
soll näherungsweise mit der Trapezregel bzw. der Simpsonregel berechnet werden.
1
Verwende dazu jeweils die Schrittweite h  . Mit welchem Fehler ist dabei nach
2
der jeweiligen Fehlerformel zu rechnen? Berechne die beiden Näherungswerte Th  f 
und S h  f  !
Mit welcher Schrittweite müsste man arbeiten, um
Th  f   I  10 4
bzw.
S h  f   I  10 4
zu erzielen? Diese Näherungswerte müssen aber dann nicht berechnet werden!
2. Berechne zum Vergleich den exakten Wert von I aus Aufgabe 1 mittels partieller
1
Integration und vergleiche die Fehlerabschätzung für h  mit dem wirklichen
2
Fehler der Näherungswerte Th  f  und S h  f  !
3. Bestimme durch partielle Integration die Stammfunktionen der folgenden Funktionen:

b) ln 1  x 2
a) e 2 x cos 3 x
4. Bestimme
2
 cos t dt
0
.

c) x ln x
d)
ln x
.
x
5. Zeige, dass für eine differenzierbare Funktion f ohne Nullstellen
ln f t  '  f ' t 
f t 
ist. Bestimme damit alle Funktionen f auf R , die die Gleichung
f ' t   a f t  für alle t
und die Bedingung
f 0  c
erfüllen, wobei a und c gegeben sind.