Klausur Mathematik II für Fakultät MW und

TU Dresden
Institut für Numerische Mathematik
Prof. Dr. Ch. Großmann/Dr. R. Vanselow
20. Februar 2006
Klausur Mathematik II für Fakultät MW und Studiengang Mechatronik
Aufgaben Nr.
1
2
3
4
5
P
Punkte max.
9
9
9
10
13
50
Punkte ist
Die Lösungswege müssen deutlich erkennbar und in übersichtlicher
Form notiert sein. Fehlende Zwischenschritte können nicht bewertet
werden. Zu bestimmende Werte sind stets nur soweit zu ermitteln,
wie das ohne Taschenrechner einfach möglich ist.
1. Es sei Q ⊂ R3 der durch
x2 y 2
+
≤ 1,
4
9
y2
x2
+
≥ 1,
4 c2 9 c2
0≤z≤2
beschriebene Körper. Dabei bezeichnet c ∈ (0, 1) einen fixierten Parameter. Unter Nutzung der Transformation x = a u cos v, y = b u sin v mit geeigneten a, b > 0
berechne man das Trägheitsmoment Jz von Q bezüglich der z-Achse bei einer Dichte
ρ(x, y, z) = 1 + 2z.
2. Es sei A das durch
x2 + y 2 + z = 3,
(x − 1)2 + y ≤ 4,
y≥0
beschriebene Flächenstück im R3 .
(a) Man skizziere die Projektion des Flächenstücks auf die x, y-Ebene.
(b) Für das Vektorfeld f : R3 → R3 definiert durch f (x) = (1, 0, −x)T mit x = (x, y, z)T
berechne man das Oberflächenintegral 2. Art
Z
f (x) ◦ dA.
A
Dabei gelte n ◦ ez > 0 für die Normale von A.
3. (a) Durch die Transformation ξ(x, y) = x + y, η(x, y) = α x + β y mit α, β ∈ R,
fest, wird definiert u(x, y) = U (ξ(x, y), η(x, y)). Man drücke die partielle Ableitung
uxy (x, y) mit Hilfe partieller Ableitungen von U (ξ, η) aus. Für welche Parameter
α, β ∈ R mit α > 0 wird die Differentialgleichung
Uξξ (ξ, η) − 9 Uηη (ξ, η) = 1
(1)
in die Form
uxy (x, y) = f (x, y)
überführt?
(b) Man bestimme die allgemeine Lösung U (ξ, η) von (1).
4. Es seien X, Y Zufallsgrößen, und es bezeichne


0
,
für
s
≤
−1,


 1 e(s−1) , für s ≤ 1,

2
α , für − 1 < s ≤ 1,
FY (s) =
FX (s) =


 1 − γ3

, für s > 1
β , für s > 1
s
mit Parametern α, β, γ ∈ R die dazugehörigen Verteilungsfunktionen.
(a) Für welche Parameter α, β, γ ∈ R sind FX , FY wirklich Verteilungsfunktionen?
(b) Für die Zufallsgröße Y mit γ = 1/2 bestimme man die Dichtefunktionen fY .
(c) Man bestimme die Erwartungswerte E(X) und E(Y ) für α = 1/4, β = 1, γ = 1/2.
(d) Für die Zufallsgröße Y bestimme man für γ = 1/4 und γ = 1/2 jeweils die bedingte
Wahrscheinlichkeit P (Y = 1|Y ≤ 2).
5. Man bestimme die Lösung u(x, t) des Anfangs-Randwert-Problems
(1 + t) ut (x, t) − uxx (x, t) = 0
ux (−π, t) = ux (π, t) = 0
x ∈ (−π, π), t > 0,
t > 0,
u(x, 0) = 2 − sin(x/2) + 3 cos(2x) x ∈ [−π, π].
Hinweis: Die bei der Separation auftretende Differentialgleichung −X 00 (x) = λ X(x)
ist nur für λ ≥ 0 zu untersuchen.