1 ÜBUNGEN

ÜBUNGEN
WS 04/05
Differentialgleichungen-Theorie und Praxis
K. Taubert
Abgabe: 16.11.04 vor den Übungen
Aufgabe 10
Die Bewegung einer verschiebbare Hülse auf einer Schräggestellten rotierenden Stange führt
auf eine unstetige Differentialgleichung der Form (Siehe Bild, Sommerfeld)
r'' = (-gsin α cos α + ω 2 r(t)cos2 α ) - tan ϕ (gcos2 α +r ω 2(t)sin α cos α )sign(r')
Durch Einführung der Variablen y1 = r und y2 = r' kann diese Differentialgleichung in ein
System erster Ordnung umgeschrieben werden
y&1 = y2
y&2 = (-gsin α cos α + ω y 12 r(t)cos2 α ) - tan ϕ (gcos2 α +y1 ω 2(t)sin α cos α )sign(y2).
Integrieren Sie diese Aufgabe im Intervall [0,7] mit dem expliziten Euler Verfahren und
der Schrittweite h = 0.001. Was beobachten Sie? Versuchen Sie eine Integration mit dem
Verfahren ode45!
Aufgabe 11
Ein Integrationsverstärker kann mit Hilfe eines Widerstandes, eines Operationsverstärkers und
einer Kapazität folgendermaßen realisiert werden.
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Erregt man den Integrationsvertärker durch eine Spannungsquelle Ue mit dem Eingangssignal
Ue(t) = cos(2 π t)
so erhält man am Knoten 3 das integrierte und skalierte Ausgangssignal
t
1
Ua = −
U e (s)ds = -sin(2 πt )
R 1 C1 ∫0
Eine Standard-Netzwerkanalyse führt auf die Algebro-Differentialgleichung vom Index 1
0

C1


− C1




− C1
C1
 y&1   G 1
  
 y&2   − G 1
 y&  + 
 3  
i1  
0  &
&


0  i 2   1
− G1
G1
−1
0
1  y 1 
 0 


 
0
 0 
 y 2 
0 1  y 3  =  0 


 
0
 0 
 i 1 
 U (t) 
 i 
0
 2 
 e 
für die Potentiale y1, y2, y3 an den Knoten 1, 2 und 3 sowie die Ströme i1 und i2 durch die
Spannungsquelle und den Operationsverstärker.
Ermitteln Sie die Ausgangsspannung y3 für den Zeitraum [0,1] mit dem expliziten Euler
Verfahren und den Schrittweiten h = 0.05 und 0.005.
Wählen Sie als Anfangsbedingung einmal die korrekte (1,0,0,2*pi,-2*pi) und einmal eine
falsche. Was beobachten Sie?
Aufgabe 12
Die Bewegung eines Planeten im Zentralfeld wird beschrieben durch die Differentialgleichungen:
r'= v,
v'= F(r)/m,
r(0) = r0
v(0) = v0,
2
Dabei sei F(r)= -r/||r||*G*m*M/||r||2 und r(t) die Position des Planeten und v(t) seine
Geschwindigkeit.
Sei im Folgenden G*M = 192.2, m=1 , ||.|| die 2-Norm in der r = (r1,r2). Das Zentrum des
Feldes liege im Ursprung. Der Planet bewege sich auf einer Kreisbahn um das Zentrum.
Da das Potential, das die Kraft F(r) ausübt, nicht explizit von der Zeit abhängt, gilt die
Erhaltung der Energie:
E(r(t),v(t))=V(r(t))+T(v(t))=const,
V(r)=-G*m*M/||r||,
T(v)=1/2*m*||v||^2
Durch den Virialsatz wissen wir, dass für einen Körper, der eine Kreisbahn beschreibt, die
Gleichung T(v(t))= - V(r(t))/2 gilt. Kreisbahn bedeutet jetzt, dass die potentielle und kinetische
Energie jeweils konstant bleibt und der Geschwindigkeitsvektor stets senkrecht auf dem
Abstand zum Zentrum steht.
Gegeben sei zum Zeitpunkt t = 0 die “Planetenfläche” [-6;6]x[100;104] . Es soll nun
die zeitliche Entwicklung dieser Fläche mit unterschiedlichen Verfahren untersucht werden.
Integrieren Sie die Differentialgleichung von t = 0 bis t = 140 für neun repräsentative und
gleichmässig verteilte Anfangswerte in der Fläche mit den folgenden Integratoren:
-
ode113 mit Fehlergrenzen AbsTol=1e-12 und RelTol=1e-12
expliziter Euler mit Schrittweite h=5
impliziter Euler mit Schrittweite h=5
Trapezregel mit Schrittweite h=5
One-leg Version der Trapezregel mit Schrittweite h=5
Plotten Sie die Anfangswerte erzeugte Anfangsfläche, die Planetenbahnen und die Endfläche.
Plotten Sie den Energieverlauf der Planetenbahnen.
Was stellen Sie über den Flächeninhalt fest? Wie hängt die Beobachtung mit den
Energieverläufen zusammen?
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