Topologie und Geometrie: ¨Ubungsblatt 3

Prof. Dr. A. Beliakova
Sommersemester 2006
Topologie und Geometrie: Übungsblatt 3
Abgabe: Freitag, 28. April 2006, bis 12 Uhr in die Postfächer.
Aufgabe 1
∞
a. Sei X ein hausdorffscher Raum und {xi }∞
i=1 eine Folge in X. Zeige, dass {xi }i=1 in
X höchstens einen Grenzwert haben kann.
b. Sei X ein Raum mit trivialer Toplologie. Beweise, dass jede Folge in X gegen jeden
Punkt von X konvergiert.
Aufgabe 2
a. Seien X, Y zwei Flächen mit Rand. Beweise, dass es keinen Homöomorphismus
f : X → Y geben kann, der einen Randpunkt von X auf einen inneren Punkt von
Y abbildet.
b. Zeige, dass das Möbiusband nicht zu einem Zylinder homöomorph ist.
* Aufgabe 3
Sei X eine 1-Mannigfaltigkeit und seien U, V ⊂ X offene Teilmengen mit ∅ 6= U ∩ V 6=
U, V . Seien f : U → D1 (0, 1) und g : V → D1 (0, 1) Homöomorphismen. Sei W eine
Zusammenhangskomponente von U ∩ V und (a, b) := f (W ) ⊂ (−1, 1) = D1 (0, 1). Zeige,
dass entweder a = −1 oder b = 1 gelten muss. Schliesse, dass U ∩ V höchstens zwei
Zusammenhangskomponenten haben kann.
Aufgabe 4
Seien X, U, V, f, g wie in Aufgabe 3. Beweise:
a. Falls U ∩ V genau eine Zusammenhangskomponente hat, so ist U ∪ V homöomorph
zu (−1, 1).
b. Falls U ∩ V zwei Zusammenhangskomponenten hat, so ist U ∪ V homöomorph zu
S 1.
(Tipp zu a.: Nach Aufgabe 3 ist O.B.d.A. f (U ∩ V ) = (a, 1) für ein a ∈ (−1, 1) und
g(U ∩ V ) = (−1, b) für ein b ∈ (−1, 1). Wähle x ∈ U ∩ V und setze U 0 := f −1 ((−1, f (x)])
und V 0 := g −1 ([g(x), 1)). Dann gilt U 0 ∪ V 0 = U ∪ V und U 0 ∩ V 0 = {x} (dies ist nicht ganz
offensichtlich, aber du darfst es als gegeben betrachten). Jetzt kannst du explizit einen
Homöomorphismus von U 0 ∪ V 0 nach (−1, 1) angeben. b. geht analog.)
Aufgabe 5
Beweise, dass jede kompakte zusammenhängende 1-Mannigfaltigkeit ohne Rand zu S 1
homöomorph ist. (Tipp: Verwende Aufgaben 3 und 4.)