Ubungsblatt 3 - Institut für Mathematik
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Klaus Mohnke
Institut für Mathematik
Rudower Chaussee 25
Haus 1 Raum 306
Übungsblatt 3
Topologie Winter 2008/09
Abgabe 12.11.2008
Aufgabe 1
a) Zeige, dass jeder kompakte metrische Raum das 2.Abzählbarkeitsaxiom erfüllt.
b) Zeige, dass die Sorgenfrey-Linie aus Aufgabe 7) das 1.Abzählbarkeitsaxiom, aber nicht das
2.Abzählbarkeitsaxiom erfüllt.
Aufgabe 2
Sei (X, O) ein topologischer Raum und A ⊂ X.
a) Sei xn → x eine konvergente Folge, {xn } ⊂ A. Zeige, dass dann x ∈ A.
b) Erfüllt (X, O) das 1.Abzählbarkeitsaxiom, so lässt sich jedes x ∈ A als Limes einer Folge
{xn } ⊂ A schreiben.
c) Konstruiere ein Gegenbeispiel zu b) für einen topologischen Raum, der das 1.Abzählbarkeitsaxiom nicht erfüllt.
Aufgabe 3
Zu welchem bekannten Raum ist die Einhängung der n-Späre, ΣS n , homöomorph?
Die folgenden Aufgaben werden in der Übung am 5.11. behandelt:
Aufgabe 4
Ein topologischer Raum heißt folgenkompakt, falls es für jede Folge von Punkten eine konvergente
Teilfolge gibt.
(1) Zeigen Sie, dass aus der Folgenkompaktheit immer die Kompaktheit des Raumes folgt.
(2) Zeigen Sie: Gemeinsam mit dem ersten Abzählbarkeitsaxiom, folgt aus der Kompaktheit die
Folgenkompaktheit des Raumes.
(3) Finden Sie topologische Räume, die kompakt aber nicht folgenkompakt sind.
Bitte wenden...
Aufgabe 5
a) Zeigen Sie, dass der offene Einheitsball Dn = x ∈ Rn ||x|| < 1 ⊂ Rn (versehen mit der
induzierten Topologie) homöomorph zum Rn ist.
b) Zeigen Sie, dass Dn /∂Dn (versehen mit der Quotienten-Topologie) homöomorph zur Sphäre
S n ist.
c) Zeigen Sie, dass S 1 × S 1 (versehen mit der Produkt-Topologie) und [0, 1] × [0, 1]/ ∼ (versehen
mit der Quotienten-Topologie, wobei ∼ erzeugt wird durch (s, 0) ∼ (s, 1) sowie (0, t) ∼ (1, t))
homöomorph zueinander sind.
d) Zeigen Sie, dass S m ∧ S n = S m+n
Aufgabe 6 (Verkleben)
Sei ϕ : X0 ⊂ X → Y eine Abbildung. `
Wir haben in der Vorlesung die Anklebung von X an Y
mithilfe von ϕ definiert: Y ∪ϕ X := (X Y )/ ∼ mit ∼ erzeugt durch x ∼ ϕ(x) für alle x ∈ X0 .
a) Zeigen Sie, dass Y zu einem Teilraum von Y ∪ϕ X homöomorph ist, falls ϕ stetig ist. Wann
gilt dasselbe für X? Beweisen Sie die entsprechende Aussage aus der Vorlesung.
b) Welche Räume entstehen bei der Verklebung X ∪id∂X X von zwei Kopien von X entlang des
Randes von X, wenn X die Vollkugel D3 , der Volltorus S 1 × D2 oder das Möbiusband ist?
