Topologie

Dr. F. Stoll
2. Übungsblatt zur Vorlesung
Prof. Dr. R. Dipper
Topologie
Winter 2008/09
Aufgabe P 4.
Sei X eine Menge, I eine Indexmenge und zu jedem i T
∈ I seiSeine Teilmenge Ai ⊆ X gegeben.
In der Vorlesung wurden Schnitte und Vereinigungen
Ai , Ai betrachtet.
i∈I
i∈I
T
S
Was passiert nun, wenn man für I die leere Menge wählt? Was ist also
Ai bzw.
Ai ?
i∈∅
i∈∅
Überlegen Sie sich die Antwort mit Hilfe der Logik.
Aufgabe P 5.
Überlegen Sie sich, wie Umgebungen von Punkten, offene Mengen und abgeschlossene Mengen
im R2 aussehen (mit der gewöhnlichen Topologie).
Aufgabe P 6.
Sei X eine Menge und S ⊆ P(X) ein System von Teilmengen von X. Auf X definieren wir eine
Topologie, in der eine Menge genau dann offen ist, wenn sie sich als Vereinigung von endlichen
Schnitten von Teilmengen aus S schreiben lässt.
(a) Zeigen Sie, dass dies tatsächlich eine Topologie beschreibt. Diese Topologie nennt man
die von S erzeugte Topologie.
(b) Zeigen Sie, dass diese Topologie die gröbste Topologie ist, sodass die Teilmengen aus S
offen sind.
Aufgabe P 7.
Sei X eine Menge
(a) Sei OX ⊆ P(X) eine System von Teilmengen von X, sodass TOP1 und TOP2 erfüllt
sind. Zeigen Sie, dass AX := {X\O | O ∈ OX } dann die Eigenschaften TOP1’ und
TOP2’ erfüllt.
(b) Sei AX ⊆ P(X) eine System von Teilmengen von X, sodass TOP1’ und TOP2’ erfüllt
sind. Zeigen Sie, dass OX := {X\A | A ∈ AX } die Eigenschaften TOP1 und TOP2
erfüllt.
2. Übungsblatt
Topologie
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 3.
1 Punkt
◦
Sei X ein topologischer Raum. Zeigen Sie, dass A genau dann offen ist, wenn A = A gilt.
Aufgabe H 4.
3 Punkte
(a) Sei X ein topologischer Raum. Sei OX die Menge aller offenen Teilmengen von X. Zeigen
Sie, dass TOP1 und TOP2 erfüllt sind.
(b) Sei umgekehrt X eine Menge und OX ein System von Teilmengen von X, sodass TOP1
und TOP2 erfüllt sind. Zu x ∈ X sei Ux das System der Teilmengen U von X, sodass es
eine Menge O ∈ OX gibt mit x ∈ O ⊆ U . Zeigen Sie, dass dann X topologischer Raum
wird.
Aufgabe H 5. 2 Punkte
Sei Rn versehen mit der gewöhnlichen Topologie. Zeigen Sie, dass
(a) endliche Teilmengen des Rn abgeschlossen sind,
(b) Nullstellenmengen im Rn von (reellen) Polynomen in n Variablen abgeschlossen sind.
(c) Finden Sie eine abzählbare Teilmenge des Rn , die nicht abgeschlossen ist.
Hinweis: Sie dürfen verwenden, dass Polynomfunktionen stetige Abbildungen im Sinne der Analysis sind, d. h. f : Rn → R ist stetig genau dann, wenn zu jedem x ∈ Rn und zu jedem ε > 0
ein δ > 0 existiert mit |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ε.
Die Scheinklausur findet am Samstag, den 14. Februar 2009 von 10 bis 12 Uhr statt.