Tutorium Analysis II für M, LaG und PH im WS04/05 No. 5

Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. T. Streicher
J. Klinger
TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
18 November 2004
Tutorium Analysis II
für M, LaG und PH im WS04/05
No. 5
Topologische Räume
Dieses Tutorium beschäftigt sich mit topologischen Räumen. Obwohl viele Topologien von einer Metrik herrühren, ist doch nicht jede Topologie metrisch. Um dies zu verdeutlichen, betrachten wir zunächst zwei Beispiele:
(T 5.1)
(a) Überprüfe, daß der Raum ([0, 1], T ) mit T := {∅, [0, 1]}∪{(a, 1] | 0 ≤ a <
1} ein topologischer Raum ist (diese Topologie wird auch obere Topologie
genannt).
(b) Bestimme alle möglichen Topologien auf der Menge {0, 1}.
Häufig hat man den Anlaß, aus gegebenen topologischen Räumen neue zu
konstruieren. Eine dieser Methoden soll in diesem Tutorium besprochen werden. Wir beginnen mit einigen Definitionen:
Definition: Sei T eine Topologie auf X.
(i) Ein Mengensystem B ⊆ T heißt Basis von T , falls jedes Element von
T Vereinigung von Elementen aus B ist.
(ii) Ein Mengensystem S ⊆ T heißt Subbasis von T , falls die Menge aller
endlichen Durchschnitte von Elementen aus S eine Basis von T ist.
(T 5.2) Sei T die durch die euklidische Metrik gegebene Topologie auf R.
(a) Zeige, daß die offenen Intervalle eine Basis von T bilden.
(b) Finde eine Subbasis von T .
Nun definieren wir die sogenannte Produkttopologie:
Definition: Sei I eine (nicht notwendigerweise endliche) Indexmenge und
sei {(Xi , Ti ) | i ∈ I} eine Familie topologischer Räume. Wir setzen X :=
Q
i∈I Xi = {(xi )i∈I | xi ∈ Xi }. Die Abbildung πi : X → Xi , x 7→ xi heißt die
i−te Projektion. Die Topologie, die das aus den Mengen πi−1 (U ) (U ∈ Ti , i ∈
I) bestehende System als Subbasis hat, wird die Produkttopologie genannt.
(T 5.3) Mache Dir die Definition der Produkttopologie am Beispiel des R2
klar. Was ist die oben angesprochenen Subbasis und was die daraus resultierende Basis?
(T 5.4) Überlege Dir allgemein für den Rn eine Subbasis und eine Basis und
beweise Deine Behauptung.
Wir übertragen nun den Begriff einer stetigen Funktion auf topologische
Räume:
Definition Seien (X, T1 ) und (Y, T2 ) topologische Räume und sei f : X → Y
eine Funktion. Wir nennen f stetig, wenn für alle O ∈ T2 gilt f −1 (O) ∈ T1 ,
d.h. wenn Urbilder offener Mengen unter f wieder offene Mengen sind.
(T 5.5) Zeige: Die Projektionen πi aus der Definition der Produkttopologie
sind stetig.
Bemerke, daß für einen topologischen Raum (X, T ) die offenen Teilmengen
in einer 1-zu-1 Beziehung zu den stetigen Funktionen von X in den topologischen Raum ({0, 1}, {∅, {1}, {0, 1}}) stehen.
Wir erinnern uns nun an die Definition einer kompakten Menge eines metrischen Raums und verallgemeinern sie zu topologischen Räumen:
Definition Ein topologischer Raum (X, T ) heißt kompakt, wenn jede offene Überdeckung eine S
endliche Teilüberdeckung enthält, d.h. wenn zu jeder
offenen Überdeckung i∈I Ui von X endlich viele Indizes i1 , . . . , ik (k ∈ N)
existieren mit X ⊆ Ui1 ∪ . . . ∪ Uik .
(T 5.6) Sei I eine endliche Menge und sei {(Xi , Ti ) | i ∈ I} eine Familie
topologischer
Räume. Beweise die folgende Behauptung: Der Produktraum
Q
i∈I Xi ist kompakt bezüglich der Produkttopologie genau dann wenn jeder
topologische Raum Xi kompakt ist.
Hinweis: Für die Hinrichtung betrachte den Beweis von Satz 6, Kapitel
3. Gilt er auch für topologische Räume? Für die Rückrichtung überlege Dir
zunächst, daß es ausreichend ist, nur zwei topologische Räume zu betrachten.
Dann halte ein x ∈ X1 fest und finde eine endliche Überdeckung für {x}×X2 .