Geometrie / Topologie I Serie 2

Prof. Dr. A. Beliakova
Herbstsemester 2015
Geometrie / Topologie I
Serie 2
Abgabe: Montag 05.10.2015, 10.00 Uhr.
Aufgabe 1. (3 Punkte) Sei die folgende Gruppenoperation gegeben:
Z2 × R2 → R2
(m, n) × (x, y) 7→ (x + m, y + n).
Beweise, dass der Raum R2 /Z2 eine topologische Fläche ist. Ist sie kompakt?
Aufgabe 2. (3 Punkte) Sei X topologischer Raum, ∼ eine Äquivalenzrelation auf X
und p : X → X/∼ die Quotientenabbildung. Beweise, dass, wenn Z ein beliebiger
topologischer Raum ist und f : X/∼ → Z eine Abbildung ist, f stetig ist dann und nur
dann, wenn f ◦ p stetig ist.
Aufgabe 3. (3 Punkte) Sei X = { x, sin x1 | x ∈ (0, 1]} ∪ {(0, 0)}. Beweise, dass X
zusammenhängend aber nicht wegzusammenhängend ist.
Aufgabe 4. (3 Punkte) Sei X 6= ∅ ein topologischer Raum und sei C(X, Y ) := {f |
f : X → Y und f stetig}, wobei Y ein beliebiger topologischer Raum ist. Beweise, dass
F
F
C X, i∈I Yi ∼
= i∈I C(X, Yi ) gilt, wenn X zusammenhängend ist.
Aufgabe 5. (3 Punkte) Sei F eine topologische Fläche und seien D1 , D2 zwei Kreisscheiben in F . Beweise, dass es einen Homöomorphismus f : F → F gibt, so dass
F (D1 ) = D2 . Tipp: Benutze den Satz von Schoenflies.
Aufgabe 6. (3 Punkte) Seien F1 und F2 zwei topologischen Flächen und sei F1 #F2 :=
(F1 \ Int(D1 )) ∪f (F2 \ Int(D2 )) ihre zusammenhängende Summe, wobei D1 ⊂ F1 ,
D2 ⊂ F2 Kreisscheiben sind und f : ∂D1 → ∂D2 ein Homöomorphismus ist. Beweise,
die folgende Aussagen:
1. F1 #F2 ist eine topologische Fläche.
2. Es gibt einen Homöomorphismus H : (F1 \ Int(D1 )) ∪f (F2 \ Int(D2 )) → (F1 \
Int(D10 )) ∪f 0 (F2 \ Int(D20 )), wobei D1 6= D10 ⊂ F1 , D2 6= D20 ⊂ F2 Kreisscheiben
sind und f 0 : ∂D10 → ∂D20 ein Homöomorphismus ist.
Aufgabe 7. (2 Punkte) Welche von der folgenden Räumen sind Mannigfaltigkeiten oder
Mannigfaltigkeiten mit Rand? Welche könnten homöomorph sein and welche nicht?
1
• Die drei Bilder:
• Die Buchstaben N und X.
• Die geschlossene Kreisscheibe, die offene Kreisscheibe und R2 .
• Die Menge M = {(x, y) ∈ R2 |
1
2
≤ x2 + y 2 ≤ 1} und die Menge M ∪ {(0, 0)}.
2