Serie 2

Dr. Vladimir Lazić
Dr. Robert Kucharczyk
Mathematisches Institut
Universität Bonn
Übungen zur Vorlesung
EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE UND TOPOLOGIE
Sommersemester 2015
Serie 2
Abgabe bis Mittwoch, 22. April 2015.
Aufgabe 1 (10 = 4 + 3 + 3 Punkte). (a) Es sei ∼ die Äquivalenzrelation auf R2 mit
x ∼ y genau dann, wenn x = y oder x = −y. Dann ist R2 /∼ homöomorph zu R2 .
(b) Es sei ∼ die Äquivalenzrelation auf R mit x ∼ y genau dann, wenn x − y ∈ Z.
Dann ist R/∼ homöomorph zur Kreislinie S 1 = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 1}.
(c) Es sei ∼ die Äquivalenzrelation auf R mit x ∼ y genau dann, wenn x − y ∈ Q.
Dann ist R/∼ ein indiskreter Raum mit überabzählbar vielen Punkten.
Aufgabe 2 (10 = 5 + 3 + 2 Punkte). (a) Zeigen Sie: Wenn X ein Hausdorffraum ist
und K ⊆ X kompakt ist, dann ist X r K eine offene Teilmenge von X.
(b) Es sei X ein kompakter topologischer Raum und Y ein Hausdorffraum; ferner sei
f : X → Y eine bijektive stetige Abbildung. Zeigen Sie, dass f dann ein Homöomorphismus ist.
(c) Finden Sie einen (notwendig nicht-kompakten) topologischen Raum X, einen Hausdorffraum Y und eine stetige Bijektion d : X → Y , die kein Homöomorphismus ist.
Aufgabe 3 (10 = 5 × 2 Punkte). Es sei X ein topologischer Raum. In dieser Aufgabe
konstruieren wir die Alexandroff-Erweiterung X ∗ , einen kompakten Raum, der X enthält.
Die unterliegende Menge ist X ∗ = X ∪ {∞}, wobei ∞ ∈
/ X. Eine Teilmenge U ⊆ X ∗ ist
offen, wenn eine der beiden folgenden Aussagen zutrifft:
◦ ∞∈
/ U , und U ist offen als Teilmenge von X.
◦ ∞ ∈ U , und U r {∞} ist offen als Teilmenge von X, und X r U ist kompakt.
Zeigen Sie:
(a) X ∗ mit der oben beschriebenen Familie von offenen Teilmengen ist ein topologischer Raum, und die ursprüngliche Topologie auf X stimmt mit der von X ⊂ X ∗
erhaltenen Unterraumtopologie überein.
(b) X ∗ ist kompakt.
(c) R∗ ist homöomorph zum Kreis S 1 = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 1}.
(d) X ist dicht in X ∗ genau dann, wenn X nicht kompakt ist.
(e) Nehmen Sie nun an, dass X ein lokalkompakter Hausdorffraum ist. Dann ist X ∗
ebenfalls ein Hausdorffraum.
Anmerkung. Es sei X ein topologischer Raum und X ⊆ X ein Unterraum. Dann heißt
X eine Kompaktifizierung von X, wenn X kompakt ist und X dicht in X ist. Falls X
nicht kompakt ist, ist also X ∗ eine Kompaktifizierung von X, genannt Ein-Punkt- oder
Alexandroff-Kompaktifizierung.
Aufgabe 4 (10 = 1 + 2 + 1 + 4 + 2 Punkte). In dieser Aufgabe konstruieren wir die
topologische Sinuskurve S, ein Beispiel für einen zusammenhängenden, aber nicht wegzusammenhängenden Raum. Dazu betrachten wir die folgenden Unterräume von R2 :
1
x, sin
x
A=
x
>0 ,
B = {(0, y) | 0 ≤ y ≤ 1},
S = A ∪ B.
(a) Skizzieren Sie S.
(b) Zeigen Sie: Es sei X ein topologischer Raum und D ⊂ X eine dichte Teilmenge.
Falls D zusammenhängend ist, so auch X.
(c) Zeigen Sie: S ist zusammenhängend.
(d) Zeigen Sie, dass es keine stetige Abbildung γ : [0, 1] → S mit γ(0) ∈ B und γ(t) ∈ A
für alle 0 < t ≤ 1 gibt.
(e) Schließen Sie, dass S nicht wegzusammenhängend ist.