Ubungsblatt 10 - Institut für Mathematik

Klaus Mohnke
Institut für Mathematik
Rudower Chaussee 25
Haus 1 Raum 306
Übungsblatt 10
Topologie Winter 2008/09
Abgabe 14.1.2009
Aufgabe 1 (Riemann-Hurwitz-Formel)
Eine Abbildung π : F 0 → F zwischen zusammenhängenden, geschlossenen Flächen (kompakt und
ohne Rand) heisst verzweigte Überlagerung, falls es für jeden Punkt p ∈ F 0 Umgebungen U ⊂ F 0
von p und V ⊂ F von π(p) gibt, die homöomorph zur Einheitskreischeibe ∆ um 0 ∈ C sind, so
dass die Abbildung die Form p(z) = z k , k ∈ N, k ≥ 1 für z ∈ ∆ bzgl. dieser Identifikationen hat.
Zeigen Sie:
(1) Die Verzweigungsordnung k = k(p) ist wohldefiniert, d.h. hängt nicht von der Wahl der
Homöomorphismen oder der Umgebungen ab.
(2) {p ∈ F 0 | k(p) > 1} ist eine endliche Teilmenge. Deren Komplement wird die Menge der
regulären Punkte genannt, das Komplement ihrer BIlder, F ∗ := F \ π({p ∈ F 0 | k(p) > 1}),
die Menge der regulären Werte.
−1
(3) π|π−1 (F ∗ ) : π −1 (F ∗ ) → F ∗ ist eine endliche Überlagerung. Die Anzahl, n :=
P |π (q)| der
∗
Urbilder für q ∈ F ist endlich und unabhängig von q. Für alle q ∈ F gilt: n = p∈π−1 (q) k(p).
P
(4) Für die Eulercharakteristiken gilt die Formel: χ(F 0 ) = nχ(F )+ p∈F 0 (1−k(p)). (Die Summe
in der Formel ist dabei eine endliche Summe, wegen (2) und wird totale Verzweigungsordnung
b(π) genannt).
2P
Aufgabe 2
Sei p : X̃ → X eine Überlagerung, f : Y → X stetig. Seien f˜1 , f˜2 : Y → X̃ Hebungen von
f . Sei Y zusammenhängend (aber nicht notwendig wegzusammenhängend bzw. lokal wegzusammenhängend). Sei f˜1 (y0 ) = f˜2 (y0 ). Beweisen Sie, dass dann f˜1 = f˜2 ist.
Hinweis: Zeigen Sie, dass {y | f˜1 (y) = f˜2 (y)} ⊂ Y offen und abgeschlossen ist.
Bitte wenden...
Folgende Aufgaben werden in den Übungen am 7.1. und 14.1. besprochen:
Aufgabe 3
Sei p : E → B eine Faserung mit wegzusammenhängenden Fasern homöomorph zu F . Dann gilt
die Gysin-Sequenz für alle Homotopiegruppen.
Benutzen Sie diesen Sachverhalt, um die Homotopiegruppen πk (CP n ) für k ≤ 2n+1 zu bestimmen.
Aufgabe 4
(i) Wie sehen Überlagerungen von S 1 ∨ S 1 aus (was sind das für geometrische Objekte)?
(ii) Studieren Sie Beispiele. Finde Paare von nicht isomorphen Überlagerungen, die homöomorph
sind.
(iii) Beschreiben Sie die Universalüberlagerung.
(iv) Geben Sie andere nichtkompakte Beispiele an.
(v) Realisieren Sie F3 als Untergruppe von F2 .
Literatur: Hatcher ”Algebraic Topology”
Aufgabe 5
Sei p(z) ein Polynom mit komplexen Koeffizienten vom Grad n ≥ 1. Zeigen Sie, dass die Abbildung
p : z ∈ C 7→ p(z) ∈ C eine verzweigte Überlagerung mit n Blättern ist. Zeigen Sie dies auch für die
Erweiterung, p̄ dieser Abbildung auf die Riemannsche Zahlenkugel CP 1 := C∪{∞} durch p̄(∞) :=
∞. Zeigen Sie, dass ∞ ein Verzweigungspunkt ist und bestimmen Sie die Verzweigungsordnung.
Stellen Sie nun einen Zusammenhang zwischen der totalen Verzweigungsordnung b(p) und dem
Grad n des Polynoms her. (Siehe Aufgabe 1 für die Begriffe). Zeigen Sie diesen Zusammenhang
nur mit Mitteln der Algebra.