¨Ubung zur Vorlesung ” Diskrete Strukturen II“

Timo Kötzing
SS 2014
Übung zur Vorlesung Diskrete Strukturen II“
http://www.theinf.uni-jena.de/Lehre/SS+2014/Diskrete+Strukturen+II-p-174.html
”
Aufgabenblatt 5
Mögliche Lösung
Theorem 1 Der Blockgraph eines zusammenhängenden Graphen ist ein Baum.
Beweis. Sei G eine zusammenhängender Graph und T sein Blockgraph. Wir zeigen
die Aussage mit Induktion nach der Anzahl der Knoten in G.
Falls G keine Artikulationen hat, so kann also das Entfernen eines einzelnen Knotens G nicht unzusammenhängend machen. Damit ist G dann 2-zusammenhängend,
somit ist T als einzelner Knoten ein Baum wie gewünscht. Es gelte nun also dass G
eine Artikulation a hat und dass der Blockgraph jedes Graphen mit weniger Artikulationen als in G ein Baum ist. Seien A1 , . . . , Ak die Komponenten von G − a und
seien G1 , . . . , Gk die durch A1 ∪ {a}, . . . , Ak ∪ {a} induzierten Teilgraphen von G.
Da a eine Artikulation ist, gilt k ≥ 2, und somit haben alle G1 , . . . , Gk weniger
Knoten als G, und damit sind ihre Blockgraphen laut Induktionsvoraussetzung Bäume
T1 , . . . , Tk . Es ist klar, dass jeder Block von G ein Block eines der G1 , . . . , Gk ist
und umgekehrt, ebenso für Artikulationen mit der Ausnahme von a, welches keine
Artikulation in irgend einem der G1 , . . . , Gk ist. Es gilt, dass a keine Artikulation
in irgend einem der G1 , . . . , Gk ist. Da nur Artikulationen in mehren Blöcken eines
Graphen sein können, ist a in jeweils genau einem Block in von jedem der G1 , . . . ,
Gk .
Insgesamt ergibt sich also der Blockgraph von G als disjunkte Vereinigung aller
T1 , . . . , Tk , mit dem zusätzlichen Knoten a und jeweils einer Kante von a zu einem
Knoten von T1 , . . . , Tk . Damit ist der Blockgraph von G ein Baum.
Das folgende Lemma zeigt die Folgerung.
Lemma 2 Sei G ein Graph mit Komponenten G1 , . . . , Gk . Dann ist der Blockgraph
von G gleich der disjunkten Vereinigung der Blockgraphen von G1 , . . . , Gk .
Der Beweis folgt direkt aus der Definition eines Blockgraphen.
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