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Prof. Dr. Heidemarie Bräsel
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg
Fakultät für Mathematik
Institut für Algebra und Geometrie
Graphentheorie - Serie 7
Abzugeben sind die Aufgaben 2a oder 2b, 3 und was immer Sie wollen.
1. Von einem Digraphen mit 5 Knoten sind die kürzesten Entfernungen zwischen
je zwei Knoten gesucht. Der Tripelalgorithmus führt im vierten Schritt auf die
folgenden Matrizen C (4) und U (4) :




1 4 4 1 1
0 10 12 6 1


 5 0 3 2 5 
 (4)  3 2 2 2 4 

(4)



C =
 2 12 0 8 3  U =  3 4 3 1 1  .
 4 4 4 4 4 
 7 4 6 0 3 
3 5 2 2 5
6 1 4 3 0
(a) Berechnen Sie die Entfernungs- und Wegematrix!
(b) Konstruieren Sie die kürzesten Wegbäume für jeden Knoten als Anfangsknoten!
(c) Zeichnen Sie einen Graphen, für den die berechneten Matrizen zutreffen!
(d) Warum kann man negative Kantenbewertungen zulassen, muß aber Zyklen negativer Länge ausschließen?
2. Gesucht ist ein Wegbaum mit dem Startknoten a auf dem folgenden Graphen:
a
2
f
6
b
8
14
5
3
2
c
e
8
5
d
(a) Wenden Sie den Algorithmus nach Dijkstra an und beweisen Sie Satz 16
der Vorlesung oder:
(b) Wenden Sie den Algorithmus nach Bellmann-Ford-More an und beweisen
Sie Satz 17 der Vorlesung. Hinweis: Spezifizieren Sie den Algorithmus nach
Bellmann-Ford-More erst so, daß die in der Vorlesung gegebene Lösungsidee
sichtbar wird. Wenden Sie dann vollständige Induktion an und zeigen Sie
schließlich, daß der auf Folie 48 gegebene Algorithmus korrekt ist.
3. Kann man Algorithmen der Vorlesung (eventuell modifiziert) einsetzen, um
die folgenden Probleme zu lösen:
(a) Gegeben ist ein Graph G. Ist G ein Baum?
(b) Gegeben ist ein Graph G. Enthält G einen Kreis?
(c) Gegeben ist ein Digraph G. Ist G zusammenhängend? Ist G stark zusammenhängend?
(d) Für einen Digraphen G = (V, E) ist die Erreichbarkeitsmatrix D ∗ = [d∗ij ]
eine Boolsche Matrix, d.h. d∗ij = 1, wenn der Knoten vj vom Knoten vi erreichbar ist oder vi = vj gilt, andernfalls wird d∗ij = 0 gesetzt. Wie läßt sich D
berechnen?
(e) Gegeben ist ein zyklenfreier Graph G. Der Rang rg(v) eines Knotens v ∈ V
zählt die Anzahl der Knoten auf einem längsten gerichteten Weg zum Knoten
v selbst, wobei v mitgezählt wird. Gesucht ist der Rang für alle Knoten v ∈ V !