Probabilistische Methoden

Department Mathematik
Diskrete Mathematik
Dozent: Dr. Mathias Schacht
SS 2010
27. April 2010
Probabilistische Methoden
2. Serie
Besprechung am 11. Mai 2010
Aufgabe 1
[1 Punkte]
Betrachten Sie das folgende Zufallsexperiment. Eine manipulierbare Münze M wird n Mal
geworfen. Beim ersten Wurf gilt P(M zeigt “Kopf”) = P(M zeigt “Zahl”) = 1/2 . Für den
i-ten Wurf ist die Chance “Kopf” zu erhalten 2/3, falls der (i − 1)-ste Wurf “Kopf” ergab
und 1/3 sonst. Was ist die erwartete Anzahl von Würfen mit dem Ergebnis “Kopf”?
Aufgabe 2
[2 Punkte]
Geben Sie einen probabilistischen Beweis von Sperners Lemma an, welcher nicht auf der
Verallgemeinerung des Satzes von Bollobás beruht.
Aufgabe 3
[2 Punkte]
Sei G = (V, E) ein Graph und M ⊆ E ein Matching in G, d.h. e ∩ f = ∅ für alle e, f ∈ M
mit e 6= f . Zeigen Sie, dass G einen bipartiten Untergraphen mit mindestens (|E| + |M |)/2
Kanten enthält.
Aufgabe 4
[2 Punkte]
Sei B ⊆ Z \ {0} eine endliche Menge nichtnegativer ganzer Zahlen. Zeigen Sie, dass eine
Teilmenge A ⊆ B existiert, so dass
(i ) |A| = Ω(|B|) und
(ii ) A enthält keine Lösung der Gleichung x + 2y = 2z + 2w.
Aufgabe 5
[3 Punkte]
Zeigen Sie den fehlenden Schritt im Beweis vom Satz von Brègman. Seien A ∈ {0, 1}n×n
und σ ∈ Sn fest und sei τ ∈ S(A) zufällig gewählt. Es ist zu zeigen, dass
G[Rτ (i) ] = (ri !)1/ri
für jedes i ∈ [n] gilt.
Hinweis: Es ist ausreichend den Fall i = 1 zu beweisen und man kann o.B.d.A. annehmen,
dass σ die Identität ist.
Aufgabe 6
[3 Punkte]
˙ E) ein bipartiter Graph mit n Knoten. Für jeden Knoten w ∈ U ∪V
˙ sei eine
Sei B = (U ∪V,
Liste L(w) ⊆ N mit |L(w)| ≥ log2 (n) Farben gegeben. Zeigen Sie, dass es eine Färbung der
Knoten von B gibt, so dass jedem Knoten w eine Farbe aus seiner Liste L(w) zugeordnet
wird und keine Kante monochromatisch ist.
Aufgabe 7
[3 Punkte]
Zeigen Sie, dass es für jede genügend grosse natürliche Zahl n einen Graphen G = (V, E)
mit folgenden Eigenschaften gibt:
(i ) |V | = n,
(ii ) χ(G) ≥ n/2 und
(iii ) ω(G) ≤ n3/4 .
Hinweis: Was können Sie über die chromatische Zahl vom Komplement eines dreiecksfreien
Graphen aussagen?