Topologie

Dr. F. Stoll
6. Übungsblatt zur Vorlesung
Prof. Dr. R. Dipper
Topologie
Winter 2008/09
Aufgabe P 22.
Zeigen Sie, dass R für n ≥ 2 nicht homöomorph zu Rn ist.
Hinweis: Wegzusammenhang ist eine topologische Invariante. Ist R\{x} für x ∈ R wegzusammenhängend?
Aufgabe P 23.
Sind folgende Teilmengen des R2 zusammenhängend, bzw. lokal zusammenhängend? Begründen
Sie Ihre Antwort.
(a) (R × Q) ∪ ({0} × R),
(b) R × {0, 1}.
Aufgabe P 24.
Zeigen Sie: Ist ein topologischer Raum zusammenhängend und lokal wegzusammenhängend,
dann ist er wegzusammenhängend.
Hinweis: Zeigen Sie, dass unter diesen Voraussetzungen die Wegzusammenhangskomponenten
offen sind.
Aufgabe P 25.
Q
Auf X =
R = RN (kartesisches Produkt als Menge) kann man eine Topologie definieren,
i∈N
gegeben durch die Basis
(
Y
)
Oi | Oi ∈ O R
.
i∈I
Man beachte, dass im Unterschied zur Produkttopologie nicht verlangt wird, dass fast alle Oi =
R sind. Diese Topologie nennt man Boxtopologie. Zeigen Sie, dass X nicht zusammenhängend
ist. Hinweis: Jede reelle Folge ist entweder konvergent oder nicht.
6. Übungsblatt
Topologie
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 15. 1 Punkt
Sei X = N versehen mit der kofiniten Topologie. Ist X zusammenhängend? Begründen Sie Ihre
Antwort.
Aufgabe H 16. 3 Punkte
Q
Seien Xi nichtleere topologische Räume für i ∈ I. Zeigen Sie, dass i∈I Xi genau dann
Hausdorffsch ist, wenn Xi Hausdorffsch ist für alle i ∈ I.
Aufgabe H 17. 2 Punkte
Sei A zusammenhängende Teilmenge eines topologischen Raums X. Zeigen Sie: Ist A ⊆ B ⊆ A,
dann ist B zusammenhängend.