Topologie ¨Ubungsblatt 6

Universität Karlsruhe (TH)
Institut für Algebra und Geometrie
HDoz. Dr. Oliver Baues
M.Sc. Slavyana Geninska
WS 2006/2007
Topologie
Übungsblatt 6
Aufwärmaufgabe
Geben Sie ein Beispiel für einen topologischen Raum, dessen Zusammenhangskomponenten nicht
offen sind.
Aufgabe 1 (Sinus des Topologen)
Sei X = {(x, sin( x1 )) | x ∈ R>0 } ∪ {(0, y) | y ∈ [−1, 1]} mit der Teilraumtopologie von R2
versehen. Zeigen Sie, dass X zusammenhängend aber nicht wegzusammenhängend ist.
Aufgabe 2 (Zusammenhängend und wegzusammenhängend)
X sei ein zusammenhängender topologischer Raum. Auf X definiert man die folgende Äquivalenzrelation: x ∼ y ⇔ ein stetiger Weg von x nach y existiert. Die Äquivalenzklassen von ∼
heißen Wegzusammenhangskomponenten. Zeigen Sie, dass X genau dann wegzusammenhängend
ist, wenn die Wegzusammenhangskomponenten offen sind.
Aufgabe 3 (Matrizengruppen)
Bestimmen Sie die Zusammenhangskomponenten von
GLn (R) = {A ∈ M at(n × n, R) | det A 6= 0},
SLn (R) = {A ∈ M at(n × n, R) | det A = 1},
SOn (R) = {A ∈ SLn (R) | A−1 = At }.
Aufgabe 4 (Ultrametrische Räume)
Ein metrischer Raum (X, d) heißt ultrametrisch, wenn d(x, y) ≤ max{d(x, z), d(z, y)} gilt. (X, d)
sei ultrametrisch. Zeigen Sie, dass X mit der von d definierten Topologie total unzusammenhangend ist.
Aufgabe 5 (Zusammenhängende Produkte)
Q
{Xj }j∈I seien topologische Räume und X := j∈I Xj ihr Produkt. Zegen Sie, dass X genau
dann zusammenhängend ist, wenn für alle j ∈ I, Xj zusammenhängend ist.
Aufgabe 6 (Topologische Körper)
Ein topologischer Körper ist ein Körper, dessen additive und multiplikative Gruppen topologische Gruppen sind. Zeigen Sie, dass ein topologischer Körper entweder zusammenhängend oder
total unzusammenhängend ist.
Hinweis. Die Zusammenhangskomponente der {0} ist ein Ideal.
Abgabe der Lösungen: bis Dienstag, 05.12.2006, 17:00 Uhr in den entsprechenden Briefkasten neben dem Seminarraum 32 im Mathematikgebäude