Sorgenfrey

Kurzlösung zur Zusatzaufgabe 4
Zusatzaufgabe 4: (Sorgenfrey-Gerade)
1. Abzählbarkeitsaxiom: Dieses ist erfüllt, denn für ein festes a ∈ R ist folgendes
System eine Umgebungsbasis:
{[a, a +
1
) : n ∈ N}
n
Denn jede offene Menge, die a enthält, muss entweder ein Intervall [a, b) oder ein
Intervall (a − , a + ) enthalten. In jedem Fall ist ein Intervall der Form [a, a + n1 )
für hinreichend großes n darin enthalten.
2. Abzählbarkeitsaxiom: Dieses ist nicht erfüllt. Denn für jedes a ∈ R muss das
Intervall [a, a + 1) als Vereinigung von Basiselementen darstellbar sein. Daher
muss ein Intervall vom Typ [a, a + ) unter den Basiselementen sein. Weil es
aber überabzählbar viele verschiedene Möglichkeiten für a gibt, ist dies mit einer
abzählbaren Basis der Topologie nicht zu erreichen.
Bemerkung: Die rationalen Zahlen sind nach wie vor eine abzählbare und dichte
Teilmenge, denn jedes Intervall enthält eine solche.
Da die Topologie feiner als die euklidische Topologie ist, gibt es auch weniger
zusammenhängende Teilmengen. Die zusammenhängenden Mengen in R mit der
gewöhnlichen Topologie sind Intervalle (a, b), [a, b), (a, b] und [a, b]. Diese sind
aber nun nicht mehr zusammenhängend, da man für einen Zwischenpunkt ξ
die Zerlegungen (a, b) = (a, ξ) ∪ [ξ, b) usw. vornehmen kann. Der Raum ist also
vollständig unzusammenhängend, d.h. die einzigen Zusammenhangskomponenten
sind einzelne Punkte.