Topologie

Dr. F. Stoll
4. Übungsblatt zur Vorlesung
Prof. Dr. R. Dipper
Topologie
Winter 2008/09
Aufgabe P 13.
Seien f : X → Y und g : X → Z stetige Abbildungen. Zeigen Sie, dass dann die Abbildung
X → Y × Z : x 7→ (f (x), g(x)) stetig ist.
Aufgabe P 14.
Seien X und Y topologische Räume und A ⊆ X, B ⊆ Y . Zeigen Sie, dass (A×B)◦ = A◦ ×B ◦
gilt.
Aufgabe P 15.
Überlegen Sie sich, welche der Trennungsaxiome T0 bis T4 für die folgenden topologischen
Räume erfüllt sind:
(a) R mit der diskreten Topologie
(b) R mit der indiskreten Topologie
(c) R mit OR = {∅, R, (−∞, a) | a ∈ R}
(d) kofinite Topologie auf R
Aufgabe P 16.
Zeigen Sie, dass jeder metrische Raum (mit der von der Metrik induzierten Topologie) die
Trennungsaxiome T2, T3 und T4 erfüllt.
Aufgabe P 17.
Zeigen Sie: Ist (an )n∈N reelle Folge, dann konvergiert (an ) genau dann gegen x ∈ R, wenn der
Endstückfilter der Folge gegen x konvergiert.
T0: Zu je wei Punkten x 6= y hat einer der Punkte eine Umgebung, die den anderen Punkt
nicht enthält.
T1: Zu je zwei Punkten x 6= y in X gibt es Umgebungen U (x) ∈ Ux und U (y) ∈ Uy mit
x∈
/ U (y) und y ∈
/ U (x).
T2: Zu je zwei Punkten x 6= y gibt es disjunkte Umgebungen.
T3: Zu A ∈ AX und x ∈ X, x ∈
/ A gibt es U (A), U (x) ∈ OX mit x ∈ U (x), A ⊆ U (A) und
U (x) ∩ U (A) = ∅.
T4: Zu A, B ∈ AX mit A ∩ B = ∅ gibt es U (A), U (B) ∈ OX mit A ⊆ U (A), B ⊆ U (B) und
U (A) ∩ U (B) = ∅.
T5: Zu A, B ⊆ X mit A ∩ B = A ∩ B = ∅ gibt es U (A), U (B) ∈ OX mit A ⊆ U (A), B ⊆
U (B) und U (A) ∩ U (B) = ∅.
4. Übungsblatt
Topologie
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 9. 2 Punkte
Seien X und Y topologische Räume und A ⊆ X, B ⊆ Y . Zeigen Sie, dass A × B = A × B
gilt.
Aufgabe H 10. 2 Punkte
Sei (X, OX ) topologischer Raum. Zeigen Sie:
(a) Ist X normal und A ∈ AX , dann ist A (mit der Spurtopologie versehen) ebenfalls normal.
(b) Ist X T1- und T5-Raum und A ⊆ X, dann ist A (mit der Spurtopologie versehen)
normal.
Aufgabe H 11. 3 Punkte
Sei X = Rn . Zeigen Sie:
(a) Sei ∅ 6= U ⊆ X Zariski-offen, d. h. offen bzgl. der Zariski-Topologie. Dann ist U offen
und dicht bezüglich der natürlichen Topologie auf X.
(b) Sind U, V nichtleere, Zariski-offene Teilmengen von X, dann ist U ∩ V 6= ∅.
(c) X mit der Zariski-Topologie ist kein Hausdorffraum.
Hinweis: Sie dürfen folgenden Satz verwenden: Ist f ∈ R[x1 , . . . , xn ] ein Polynom, sodass es
eine offene Menge O ⊆ X (bzgl. der natürlichen Topologie auf X) gibt mit f |O = 0 (hier
bezeichnen wir die zu f gehörige polynomiale Funktion ebenfalls mit f ), dann ist f = 0.
Sprechstunden der
Benjamin Fuchs
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