(Gerade mit verdoppelter Null) Sei R die Menge der reellen Zahlen mit

Analysis und Geometrie von Mannigfaltigkeiten
Serie 6
18. (Gerade mit verdoppelter Null)
Sei R die Menge der reellen Zahlen mit der üblichen Topologie und sei
Z = R ∪ {00 } mit 00 ∈
/ R. Wir definieren
B := {U ⊆ R | U offen in R} ∪ {] − , 0[∪{00 }∪]0, [, > 0}
a) Zeigen Sie, dass B eine Basis einer Topologie auf Z ist.
b) Zeigen Sie, dass B mit dieser Topologie nicht hausdorffsch ist.
c) Zeigen Sie, dass jeder Punkt in Z eine offene Umgebung hat, die
homömorph zu R ist.
19. Auf der 2-Sphäre S 2 = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 = 1} definieren wir
folgende Äquivalenzrelation: P ∼ Q, falls P und Q dieselben x und
y-Koordinaten haben. Zeigen Sie, dass der Quotientenraum mit der
Quotiententopologie homöomorph zur Kreisscheibe K := {(u, v) | u2 +
v 2 ≤ 1} ist.
20. Welche der folgenden topologischen Räume sind topologische Mannigfaltigkeiten?
1. X1 := {(x, y) ∈ R2 | xy = 0}.
2. X2 := {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ∈ Q \ {0}}, jeweils versehen mit der
Unterraumtopologie des R2 .
21. Auf der Einheitssphäre S n sei ein Atlas A0 gegeben
−
−
A0 = {(Ui+ , ϕ+
i ), (Ui , ϕi ) | i = 1, · · · , n + 1}
wie folgt: Es ist Ui+ = {x ∈ S n | xi > 0} und Ui− = {x ∈ S n | xi < 0}
und ϕ+−
: U1+− → Rn bezeichne die Projektion
i
1
n+1
ϕ+−
) = (x1 , · · · , xi−1 , xi+1 , · · · , xn+1 ),
i (x , · · · , x
welche die i-te Komponente xi von x fortläßt. (i = 1, . . . , n + 1)
Zeigen Sie, dass A0 ein C ∞ -Atlas für S n ist, der dieselbe C ∞ -Struktur
liefert wie der Atlas aus zwei Karten mittels der stereographischen
Projektion in der Vorlesung.