5 . ¨Ubung zur Topologie - Institut für Mathematik

Universität Würzburg
Institut für Mathematik
Prof. T. Grundhöfer, J. Jordan
Sommersemester 08
14.04.2008
5 . Übung zur Topologie
Abgabe: Bis Freitag, 23.04.2008, 12:00 Uhr, Briefkasten an der Mathematik-Bibliothek.
5.1 Für n ∈ N seien (Xn , dn ) metrische Räume und On die von
Qdn induzierte Topologie.
Weiter sei OQdie Produkttopologie des Produktraumes n∈N Xn . Man finde eine
Metrik d auf n∈N Xn , welche die Topologie O induziert.
5.2
a) Sei n ∈ N. Man zeige, dass die lineare Gruppe GLn R eine topologische Gruppe
2
ist (dabei wird GLn R als Teilraum des Matrizenringes Rn×n ∼
= Rn mit der
natürlichen Topologie betrachtet).
b) Sei p eine Primzahl. Man zeige, dass (Q, +) und (Q \ {0}, ·) topologische Gruppen sind, mit der Topologie, welche von der p-adischen Metrik aus Aufgabe 1.2
induziert wird.
5.3 Ein topologischer Raum X heißt lokal euklidisch (mit Dimension n), falls jedes x ∈ X
eine Umgebung hat, welche zu Rn homöomorph ista . Man zeige:
a) Die Sphäre Sn ist lokal euklidisch mit Dimension n.
b) Der projektive Raum Pn ist lokal euklidisch mit Dimension n.
c) Sind X und Y lokal euklidisch mit Dimension n bzw. m, dann ist X × Y lokal
euklidisch (mit welcher Dimension?).
a
Einen solchen Homöomorphismus h : U → Rn nennt man auch Karte