Lösungsvorschlag Hausaufgaben Blatt 5

Übungen zur Einführung in die Topologie
Uni Frankfurt, SoSe 2009
Blatt 5, 14. Mai
Prof. Dr. A. Werner
Dipl.-Math. M. Häbich
Hausaufgaben
Blatt 5
Bemerkung: Wenn nicht anders angegeben, betrachten wir R und R2 immer mit der
2
üblichen Topologie. Zur besseren Darstellung
schreiben wir die Elemente des R auf
x
, sondern als Zeilenvektoren (x, y).
diesem Blatt nicht als Spaltenvektoren
y
Aufgabe 9: Ein Homöomorphismus
Zeigen Sie, dass jedes offene Intervall ]a, b[ mit a, b ∈ R, a < b, versehen mit der Unterraumtopologie, homöomorph zur reellen Achse R ist.
∼
Hinweis: Konstruieren Sie zunächst einen Homöomorphismus f : ]a, b[ −→
]−1, 1[ und
∼
anschließend einen Homöomorphismus g : ]−1, 1[ −→ R. Zeigen Sie, dass g ◦ f wieder
ein Homöomorphismus ist. Die folgende Skizze zeigt eine Möglichkeit, eine Bijektion
g : ]−1, 1[ → R geometrisch zu konstruieren. Indem Sie die Gleichung der gepunkteten
Geraden explizit aufstellen und den Schnittpunkt mit der x-Achse bestimmen, erhalten
Sie einen analytischen Ausdruck für g(x), anhand dessen Sie die geforderten Eigenschaften nachweisen können.
(0, 1)
g(x)
(0, 0)
Lösungsvorschlag
siehe nächste Seite
x
Übungen zur Einführung in die Topologie
Uni Frankfurt, SoSe 2009
Blatt 5, 14. Mai
Prof. Dr. A. Werner
Dipl.-Math. M. Häbich
Aufgabe 10: Unterraumtopologie
i) Das Bild X der Einbettung j : R ֒→ R2 , x 7→ (x, 0) bezeichnen wir als x-Achse.
Beschreiben Sie die Unterraumtopologie auf X.
ii) Wir fassen die natürlichen Zahlen N als Teilmenge der reellen Zahlen R auf. Beschreiben Sie die Unterraumtopologie auf N.
Lösungsvorschlag
i) Eine Basis der Topologie auf R2 ist gegeben durch die Menge aller offenen Bälle
Bε (a) = x ∈ R2 : (x1 − a1 )2 + (x2 − a2 )2 < ε2
für ε > 0 und a = (a1 , a2 ) ∈ R2 . Also ist eine Basis der Unterraumtopologie auf X
gegeben durch alle Schnitte von offenen Bällen der obigen Form mit X, also durch
die Menge aller Teilmengen der Form
X ∩ Bε (a) = {(x, 0) ∈ X : (x − a1 )2 + a22 < ε2 }
{z
}
|
(∗)
für ε > 0 und a = (a1 , a2 ) ∈ R2 .
Nun ist die Ungleichungp(∗) nicht erfüllbar für ε ≤ a2 , und für εp> a2 ist sie
äquivalent zu |x − a1 | < ε2 − a22 , also x ∈ ]a1 − r, a1 + r[ für r = ε2 − a22 > 0.
Da ε und a beliebig waren, erhält man so gerade die Bilder unter j aller offenen
Intervalle als Basis für die Unterraumtopologie auf X. Somit stimmt diese mit der
üblichen Topologie auf R überein, wenn wir X vermöge j mit R identifizieren.
ii) siehe nächste Seite