2. ¨Ubung “Operatoralgebren”

Prof. Dr. Thomas Timmermann
Zimmer: 221 – Tel.: 943 2770 – Email: [email protected]
2. Übung “Operatoralgebren”
1. Sei A eine Algebra und a ∈ A. Zeige: Ra (λ) − Ra (µ) = (µ − λ)Ra (µ)Ra (λ)
für alle λ, µ ∈ ρA (a).
P
n
2. Sei C[[X]] die Algebra der formalen Potenzreihen ∞
n=0 an X (wobei a0 ,
a1 , . . . ∈ C) mit der Multiplikation
∞
X
an X
n=0
n
∞
X
bn X
n
=
n=0
n
∞ X
X
n=0
ak bn−k X n .
k=0
Ein Gewicht auf N ist eine Abbildung ω : N → (0, ∞) mit
ω(0) = 1 und ω(m + n) ≤ ω(m)ω(n) für alle m, n ∈ N.
(a) Nenne Beispiele von Gewichten.
(b) Zeige: für jedes Gewicht ω ist die Menge
1
l (ω) :=
∞
nX
∞
X
o
an X ω(n)|an | < ∞ ⊂ C[[X]]
n
n=0
n=0
eine Unteralgebra und eine Banachalgebra bezüglich einer natürlichen
Norm (welcher?).
3. Zeige: Der Raum C (n) ([0, 1]) = {f ∈ C([0, 1]) | f ist n-mal stetig differenzierbar auf (0, 1) und f (1) , . . . , f (n) sind stetig auf [0, 1] fortsetzbar} ist eine
Algebra bezüglich der punktweisen Operationen und eine Banachalgebra
bezüglich der Norm
n
X
1 (k)
kf kn =
kf k∞
k!
k=0
(f ∈ C (n) ([0, 1])).
4. Sei A eine Algebra mit einer Norm, bezüglich derer A vollständig und die
Multiplikation A × A → A, (a, b) 7→ ab, stetig ist. Zeige:
(a) Für jedes a ∈ A ist die Abbildung La : Ã → Ã, b̃ 7→ ab̃, beschränkt
bezüglich der durch k(λ, a)k := |λ| + kak definierten Norm auf Ã.
(b) Die Zuordnung kakL := kLa k (a ∈ A) definiert eine Norm auf A.
(c) (A, k · kL ) ist eine Banachalgebra.
(d) Hat A eine Eins, so ist (A, k · kL ) eine unitale Banachalgebra.
1
Bemerkung: Der Homomorphismus A → L(Ã), a 7→ La , heißt die reguläre
Darstellung von A. Ist A unital, so kann man A statt à verwenden.
5. Sei A eine unitale Banachalgebra und rad(A) der Schnitt aller maximalen
Linksideale von A. Zeige:
(a) Ist I ⊆ A ein maximales Linksideal und a 6∈ I, so existiert ein b ∈ A
mit 1A − ba ∈ I.
(b) rad(A) = {a ∈ A | 1A − ba ∈ Inv(A) für alle b ∈ A}.
(c) Für jedes a ∈ rad(A) gilt σA (a) = {0} (d.h. a ist quasi-nilpotent).
(d) Bestimme rad(A) für A = Mn (C) und A = {a ∈ Mn (C) | aij = 0 falls
i < j} ⊂ Mn (C) (n ∈ N).
2