Probeprüfung - Institut für Mathematik

Prof. A. Cattaneo
Institut für Mathematik
Universität Zürich
Lineare Algebra
Probeprüfung
Aufgabe 1
Sei V = Mat(2 × 2; R) und sei B : V × V → R gegeben durch
a
B( 11
a21
a12
b
, 11
a22
b21
b12
) = a11 b11 + a12 b12 + a21 b21 + a22 b22 .
b22
(a) Zeigen Sie, dass B eine Bilinearform ist.
(b) Zeigen Sie, dass B positiv definit ist und somit
1 3
0
(c) Zeigen Sie, dass A1 =
und A2 =
2 −4
3
nal sind.
ein Skalarprodukt auf V induziert.
2
bezüglich dieses Skalarpodukts orthogo3
Aufgabe 2
Sei die Abbildung B : K≤2 [x] × K≤2 [x] → K, wobei K≤2 [x] den Raum der Polynome über K von
Grad höchstens 2 bezeichnet, definiert durch
B(p, q) = p(1)q(1).
(a) Zeigen Sie, das B eine symmetrische Bilinearform ist.
(b) Setze K = R. Schreiben Sie B in Normalform und berechnen Sie den Ausartunsraum von B.
(c) Setze K = Z/2Z und Q = span{1 + x + x2 }. Berechnen Sie Ann(Q) und Q⊥ .
Aufgabe 3
Sei O eine n×n-Matrix über R und U eine n×n-Matrix über C. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
(a) Die Matrix O (beziehungsweise U ) ist genau dann orthogonal (beziehungsweise unitär),
wenn ihre Spalten eine Orthonormalbasis bezüglich des Standardskalarprodukts über R (beziehungsweise C) bilden.
(b) Ist O orthogonal und λ ein Eigenwert von O, so gilt λ = ±1. Ist U unitär und µ ein Eigenwert
von U , so gilt |µ| = 1.
Aufgabe 4
Zeigen Sie, dass für jede positiv definite symmetrische (resp. hermitesche) Matrix P und für jedes
k ∈ Z, eine eindeutige positiv definite symmetrische (resp. hermitesche) Matrix Q existiert, so
dass:
P = Qk .
Aufgabe 5
(a) Eine Gruppe G heisst zyklisch, wenn G von einem a ∈ G generiert wird, d.h. G := (an : n ∈
Z). Zeigen Sie, dass jede Untergruppe einer zyklischen Gruppe zyklisch ist.
(b) Die Ordnung einer endlichen Gruppe G ist die Anzahl der Elemente von G und wird mit
|G| bezeichnet. Nehmen Sie an, dass |G| = p, wobei p eine Primzahl ist. Zeigen Sie, dass G
zyklisch ist.
Aufgabe 6
(a) Seien V, W endlich dimensionale K-Vektorräume. Jede lineare Abbildung f : V → W induziert eine Abbildung f ∗ : W ∗ → V ∗ gegeben durch f ∗ (α) = α ◦ f für α ∈ W ∗ .
(b) Sei g : W → Z eine K-lineare Abbildung in einen weiteren endlich dimensionalen Vektorraum
Z. Zeigen Sie, dass (g ◦ f )∗ = f ∗ ◦ g ∗ gilt. Zeigen Sie auch, dass, wenn V = W und f die
identische Abbildung auf V ist, f ∗ die identische Abbildung auf V ∗ ist.
(c) Sei B = {v1 , . . . , vn } eine Basis von V und C = {w1 , . . . , wm } eine Basis von W . Sei A
die Darstellungsmatrix MCB (f ), welche f bezüglich der Basen B und C darstellt. Zeigen
∗
∗
Sie, dass die Matrix MBC∗ (f ∗ ), welche f ∗ bezüglich der Basen C ∗ = {w1∗ , . . . , wm
} und
∗
∗
∗
C∗
∗
t
B = {v1 , . . . , vn } darstellt, MB ∗ (f ) = A erfüllt.
(d) Zeigen Sie, dass f genau dann injektiv ist, wenn f ∗ surjektiv ist und dass f genau dann
surjektiv ist, wenn f ∗ injektiv ist. Folgern Sie, dass f genau dann ein Isomorphismus ist,
wenn f ∗ einer ist.
Aufgabe 7
Diese Aufgabe ist als Herausforderung für interessierte Studierende gedacht und wäre somit zu
anspruchsvoll, um als Prüfungsaufgabe gestellt zu werden.
(a) Let V1 , . . . , Vn be f.d. K-vector spaces. Prove that
!∗
n
n
M
M
Vi
'
(Vi∗ )
i=1
i=1
(b) Now we make the game harder. Let {Vn }n∈N be a countable collection of f.d. vector spaces.
Recall that the direct sum of the Vn ’s is the vector space
(
)
M
X
Vn =
λn vn : vn ∈ Vn ∀n, λn = 0 for all n except for a finite number
n
n∈N
The direct product is the vector space
Y
Vn = {(v1 , v2 , . . . , vn , . . . ) : vi ∈ Vi ∀i}
n
L
Q
The spaces n Vn and n Vn in general are NOT isomorphic as vector spaces. For a generic
K this might be pretty hard to prove, so do it in the cases K = Fp , K = Q or K = R. Hint:
An isomorphism of vector spaces is in particular a bijection of sets...
(c) Prove that
!∗
M
Vn
n
'
Y
(Vn∗ )
n
This shows that for vector spaces which are not finite dimensional, the dual is not necessarily
isomorphic to the space itself.
(d) Find the dual of the K-vector space K[x].