Interpolation und Approximation

Interpolation und Approximation
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Aufgabe
a) Welche der folgenden drei Funktionen fi sind kubische Splines bezüglich der Unterteilung
T = [0, 1] ∪ [1, 2] ∪ [2, 2.5] des Intervalls [0, 2.5] (mit Begründung)?
f1 (x)
=
f2 (x)
=
f3 (x)
=
|x|,
(
1
für x ≤ 1,
x2 − 2 x + 2 für x ≥ 1,
(
6(x − 1)2 + 6x − 3 für x ≤ 1,
3 x3 − 3 x2 + 3 x
für x ≥ 1.
b) Bestimmen Sie alle reellen Zahlen α und β so, dass
(
αx + β
für x ≤ 2,
f4 (x) =
3
3 (x − 2) + 6x für x ≥ 2.
ein kubischer Spline bezüglich der in b) gegebenen Unterteilung T des Intervalls [0, 2.5] ist.
Lösung
a) f1 und f3 sind kubische Splinefunktionen,
f2 ist kein kubischer Spline, da f200 (1 − 0) = 0 und f200 (1 + 0) = 2.
b) Aus f40 (2−0) = α und f40 (2+0) = 6 erhält man α = 6 und damit für β aus f4 (2−0) = 2α+β,
f4 (2 + 0) = 12 den Wert β = 0.
Jetzt ist noch erforderlich, die Stetigkeit von f400 (x) für x = 2 zu überprüfen. Dies ist aber
wegen f400 (2 − 0) = 0 und f400 (2 + 0) = 0 der Fall.
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