Übung 1

Praktische Informatik
Mathematik 3
25. 10. 2016
Übung 1
(Polynom-Interpolation, Spline-Interpolation)
Aufgabe 1:
Vervollständigen Sie das folgende Differenzenschema nach Newton für ein
Interpolationspolynom, indem Sie * durch die richtigen Werte ersetzen:
x
*
y
-2
2
0
0
-1
0
1
*
*
2
*
2
4
Ergänzen Sie das Schema und geben Sie das Interpolationspolynom an.
Aufgabe 2:
1
und x2  1 mit den dazugehörigen
2
4
1
Stützstellenwerten f 0  1 , f1  und f 2  . Berechnen Sie das Interpolationspolynom.
5
2
Gegeben sind die Stützstellen x0  0 , x1 
Aufgabe 3:
Gegeben sind die Daten:
a)
xi
fi
-1
1
0
-3
1
-3
b)
xi
hi
-1
1
0
-3
1
-3
2
-1
Bestimmen Sie das Interpolationspolynom px  zu f nach Lagrange und Newton.
Berechnen Sie das Interpolationspolynojm qx  zu h am effizientesten.
Aufgabe 4:
Sei f : 0;2  |R f x   2 x  x3 
7 2 7
x  x . Bestimmen Sie an den Stützstellen x0  0 ,
2
2
x1  1 und x2  2 das Interpolationspolynom px  im Intervall 0;2 . Geben Sie mit der
Formel aus der Vorlesung eine obere Schranke für den Fehler der Interpolation an.
Aufgabe 5:
Ist die Funktion
S : 1;3  |R



1 3
2
 2 x  3x  4 x  2
S x   
1
  x3  9 x 2  20 x  14
2
für 1  x  2

für 2  x  3
ein natürlicher kubischer Spline?
Aufgabe 6:
Bestimmen Sie die Zahlen  und  so, dass die Funktion
S : 0;2  |R



1
3
 4  x  x  4
S x   
1
 x3  x 2  7 x  2
4
für 0  x  1

für 1  x  2
ein natürlicher kubischer Spline ist.
Aufgabe 7:
Gegeben sind die Stützstellen x0  1 , x1  0 und x2  1 mit den dazugehörigen
Stützstellenwerten f 0  1 , f1  2 und f 2  1 . Berechnen Sie mit dem Algorithmus aus der
Vorlesung den natürlichen Spline auf dem Intervall I   1;1 bezüglich der Zerlegung
x0 , x1 , x2 .