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Interpolation Offensichtlich gilt Φi (xj ) = δij , i, j = 0, . . . , n. Gegeben seien ferner die Funktionswerte fj = f (xj ) der zu interpolierenden Funktion f . Man erhält somit den interpolierenden Spline Φ(x) = n X j=0 fj Φj (x). Interpolation Interpolation mit kubischen Splines Sei f 2 C 1 ([a, b]). Das Intervall [a, b] sei in n äquidistante b a Teilintervalle Ij = [xj−1 , xj ] der Länge h = zerlegt. n 2 Die Funktion Ψ 2 C ([a, b]) ! R heißt vollständiger oder eingespannter kubischer Spline falls, 1 Ψ 2 C 2 ([a, b]) 2 Ψ 2 P3 (Ij ) 3 Ψ(xj ) = f (xj ) 4 5 Ψ0 (a) = f 0 (a) und Ψ0 (b) = f 0 (b) Ψ heißt natürlicher kubischer Spline für 1.-3. und Ψ00 (a) = Ψ00 (b) = 0 Gilt für eine Funktion f zusätzlich f (a) = f (b), dann heißt der kubische Spline Ψ mit 1.-3. und Ψ0 (a) = Ψ0 (b) und Ψ00 (a) = Ψ00 (b) periodischer kubischer Spline. Interpolation Aufgabe Auf dem Intervall [ 1, 1] seien die Knoten x0 = 1, x1 = 0 und x2 = 1 gegeben. Welche Eigenschaften eines natürlichen kubischen Splines bezüglich der zugehörien Zerlegung besitzt die folgende Funktion, und welche besitzt sie nicht? ( (x + 1) + (x + 1)3 für 1 x 0 f (x) = 3 4 + (x 1) + (x 1) für 0 x 1. Interpolation Aufgabe 1.) Stellen Sie das allgemeine lineare Gleichungssystem zu Berechnung der Gewichte eines natürlichen kubischen Splines auf. 2.) Beurteilen Sie mit Hilfe der differenziellen Fehleranalyse Kondition und Stabilität des Algorithmus p f (x) = x2 + 1 + x in Abhängigkeit von x. Geben Sie einen Algorithmus zur Berechnung von f an, der für alle x 2 R stabil ist! Interpolation Aufgabe Gegeben sei f (x) = (1 + x2 )−1 und dazu die Stützstellen x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2. Man berechne den interpolierenden kubischen Spline mit natürlichen Randbedingungen.
