¨Ubungsbla 1

Christoph Schweigert
Louis-Hadrien Robert
Topologie 1
Wintersemester 2015/2016
Übungsblatt 1
Abgabetermin: Dienstag, 20. Oktober 2015
Aufgabe 1 (Produkte von metrischen Räumen).
Sie, dass
1. Seien (X1 , d1 ) und (X2 , d2 ) metrische Räume. Beweisen
d0 (x, y) := d1 (x1 , y1 ) + d2 (x2 , y2 ),
p
d00 (x, y) := d1 (x1 , y1 )2 + d2 (x2 , y2 )2
und
000
d (x, y) := max{d1 (x1 , y1 ), d2 (x2 , y2 )}
Metriken auf dem Produkt X1 × X2 definieren. Hierbei sind x = (x1 , x2 ) und y = (y1 , y2 ) Element aus
X1 × X2 .
2. Es sei (Xn , dn )n∈N eine Folge von metrischen
Räumen. Warum kann die Definitionen aus Teil 1. nicht
Q
einfach übertragen werden, um auf X = n≥0 Xn eine Metrik zu erhalten? Zeigen Sie, dass
d(x, y) :=
X 1 dn (xn , yn )
2n 1 + dn (xn , yn )
n≥0
eine Metrik auf dem Produkt
X.
Q
n≥0
Xn definiert. Hierbei sind x = (xn )n∈N und y = (yn )n∈N Element aus
Aufgabe 2 (Abstand zur Teilmenge). Es sei (X, d) ein metrischer Raum. Zeigen Sie, dass dann gilt:
1. Für jedes x0 aus X ist die Abbildung fx0 : x 7→ d(x, x0 ) stetig.
2. Für jede nicht leere Teilmenge A ⊆ X ist die Abbildung fA : x 7→ d(x, A) := inf a∈A {d(x, a)} stetig, und
das Urbild der Null ist A.
3. Für je zwei nichtleere, disjunkte und abgeschlossene Teilmengen A und B von X gibt es eine stetige
Abbildung h : X → R mit h−1 (0) = A und h−1 (1) = B.
Aufgabe 3 (Metrik in Arithmetik). Sei p eine Primzahl. Auf den ganzen Zahlen Z definieren wir
dp (x, y) := p−νp (x−y) ,
wobei νp (z) = sup{n|pn teilt z}. Wir benutzen die übliche Konvention, dass p−∞ = 0.
1. Zeigen Sie, dass dp eine Metrik auf Z ergibt, welche die folgende starke Dreiecksungleichung erfüllt:
dp (x, z) ≤ max(dp (x, y), dp (y, z)).
2. Warum erfüllt dp die Dreiecksungleichung?
3. Wie sehen -Bälle um die 0 aus?
Aufgabe 4 (Funktionenräume). Es sei C := C([0, 1], R) der Raum der stetigen, reellen Funktionen des Einheitsintervalls.
1
1. Zeigen Sie, dass
d∞ (f, g) := sup {|f (x) − g(x)|} und
x∈[0,1]
s
1
Z
(f (x) − g(x))2 dx
d2 (f, g) :=
0
Metriken auf C definieren.
2. Zeigen Sie, dass die Auswertungsabbilung ϕ0 : f 7→ f (0) stetig bezüglich d∞ aber nicht bezüglich d2 ist.
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