¨Ubungen – Blatt 2

Prof. Dr. Annette Werner
Dr. Amir Džambić
Nicht-archimedische Zahlen
Wintersemester 2012/2013
Übungen – Blatt 2
Abgabe der Lösungen am 08.11. vor der Vorlesung
Aufgabe 1. Sei A = C[t] der Ring der Polynome mit Koeffizienten in C. Sei P ∈ C.
Für f (t) ∈ C[t] \ {0} setzen wir
n falls f eine Nullstelle der Ordnung n in P hat
wP (f ) =
0
sonst
Zeigen Sie, dass wP eine Bewertung auf C[t] definiert. Ist die Gradfunktion
f 7→ deg(f ) eine Bewertung auf C[t]?
(4 P.)
Aufgabe 2.
1. Sei | | ein nicht-archimedischer Betrag auf einem Körper K und d( , ), die von
| | induzierte Metrik (d(x, y) = |x − y|). Zeigen Sie, dass für die Metrik d( , )
die folgende starke Dreiecksungleichung gilt:
Für alle x, y, z ∈ K gilt d(x, z) ≤ max{d(x, y), d(y, z)}. Falls d(x, y) 6= d(y, z),
gilt sogar d(x, z) = max{d(x, y), d(y, z)}.
2. Betrachten Sie Q ausgestattet mit der 5-adischen Metrik. Gegeben sei das
”
Dreieck“ in Q mit den Ecken x = 2/15, y = 1/5, z = 7/15. Was sind die
(5-adischen) Seitenlängen dieses Dreiecks?
(4 P.)
Aufgabe 3. Sei | | ein Betrag auf einem Körper K und d( , ) die von | | induzierte
Metrik. Seien x0 , y0 ∈ K fest. Zeigen Sie:
1. Für alle > 0 gibt es ein δ > 0, so dass für alle x, y ∈ K mit d(x, x0 ) < δ und
d(y, y0 ) < δ gilt d(x + y, x0 + y0 ) < (Addition ist stetig).
2. Für alle > 0 gibt es ein δ > 0, so dass für alle x, y ∈ K mit d(x, x0 ) < δ und
d(y, y0 ) < δ gilt d(xy, x0 y0 ) < (Multiplikation ist stetig).
3. Sei x0 6= 0. Für alle > 0 gibt es ein δ > 0, so dass für alle x ∈ K mit
d(x, x0 ) < δ gilt x 6= 0 und d(1/x, 1/x0 ) < (Inversion ist stetig).
(4 P.)
Aufgabe 4. Sei K ein Körper mit einem nicht-archimedischen Betrag | |. Eine
Teilmenge U ⊂ K ist offen, falls für jedes a ∈ U ein r > 0 existiert mit B(a, r) ⊂ U .
Zeigen Sie:
1. Beliebige Vereinigungen und endliche Schnitte offener Mengen sind offen.
2. B(a, r) und K \ B(a, r) = {x ∈ K | |x − a| > r} sind offen.
3. K \ B(a, r) = {x ∈ K | |x − a| ≥ r} ist offen. B(a, r) ist abgeschlossen.
(4 P.)