Übung 2

Übungen zur Analysis II
(SoSe 2017)
2. Übungsblatt (25.4.2017)
Abgabe der Lösungen nächsten Dienstag bis 10:30 in der Vorlesung.
1 Sei V ein K-Vektorraum mit einer Metrik d mit folgenden Eigenschaften
∀u, v, w ∈ V, λ ∈ K :
a) d(v, w) = d(v + u, w + u) (Translationsinvarianz),
b) d(λv, λw) = |λ| · d(v, w) (Homogenität).
Zeigen Sie, dass es eine eindeutig bestimmte Norm k · k auf V gibt mit
d(v, w) = kv − wk.
(25 Punkte)
2 a) Zeigen Sie für x, x0 , y, y 0 ∈ M und eine Metrik d auf M
|d(x, y) − d(x0 , y 0 )| ≤ d(x, x0 ) + d(y, y 0 ).
b) Folgern Sie aus xk → x, yk → y, dass d(xk , yk ) → d(x, y).
c) Sei D := {(x, x) | x ∈ M }. Zeigen Sie, dass D ⊂ M × M abgeschlossen ist.
(10+10+10 Punkte)
3 Bestimmen Sie möglichst explizit die Topologie zur diskreten Metrik d
auf einer Menge M . Geben Sie zu x ∈ M , r ∈ R+ folgende Teilmengen an:
a) Br (x),
b) Br (x),
c) Abschluss und Rand von Br (x).
(10+5+5+5 Punkte)
4 Sei (V, k · k) ein normierter Vektorraum und x ∈ V , r ∈ R+ . Zeigen Sie,
dass Br (x) konvex ist in dem Sinne, dass
∀v, w ∈ Br (x), λ ∈ [0, 1] : λv + (1 − λ)w ∈ Br (x)
und dass ∀v ∈ V : x + v ∈ Br (x) ⇒ x − v ∈ Br (x).
(10+10 Punkte)
Sie finden die Aufgabenblätter auch unter
http://reh.math.uni-duesseldorf.de/∼koehler/Lehre/2017/Vorlesung.html