¨Ubungen zu Differentialgeometrie II

Prof. Dr. C. Böhm
Dr. M. Kerin
Wintersemester 10/11
WWU Münster
Übungen zu Differentialgeometrie II
Serie 10
Aufgabe 1. Sei (M, h , i) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und G eine Liegruppe, welche
auf M isometrisch operiert. Für X ∈ g, die Liealgebra von G, und p ∈ M bezeichnen wir mit
X ∗ (p) :=
d (exp(tX).p) .
dt t=0
Zeigen Sie:
(a) X ∗ ist Killing-Vektorfeld auf M .
(b) Die Lieklammer zweier Killing-Vektorfelder ist ein Killing-Vektorfeld.
(c) Falls X ∗ , Y ∗ und Z ∗ Killing-Vektorfelder auf M sind, dann gilt
2h∇X ∗ Y ∗ , Z ∗ i = h[X ∗ , Y ∗ ], Z ∗ i + h[X ∗ , Z ∗ ], Y ∗ i + hX ∗ , [Y ∗ , Z ∗ ]i.
Die adjungierte Darstellung von G auf g ist definiert vermittels Adg (X) := (Lg )∗ (Rg−1 )∗ X,
d
g ∈ G, X ∈ g, d.h. Ad : G → Aut(g). Es gilt dt
|t=0 Adexp(tX) Y = [X, Y ], für alle X, Y ∈ g.
Sei H ⊂ G eine kompakte Lieuntergruppe mit Liealgebra h ⊂ g. Sei h , i eine Metrik
auf G, welche G-linksinvariant und H-rechtsinvariant ist, d.h. h(Lg )∗ v, (Lg )∗ wig = hv, wie =
h(Rh )∗ v, (Rh )∗ wih , für alle g ∈ G, h ∈ H und v, w ∈ g. Insbesondere ist h , ie invariant unter
Adh , für alle h ∈ H. Sei m ⊂ g das orthogonale Komplement von h in g bezüglich h , ie . Sei
π : G → G/H; g 7→ gH die Quotientabbildung. Da (Lg )∗ m ∼
= TgH G/H für alle g ∈ G gilt,
können wir eine Riemannsche Metrik hh , ii auf G/H definieren, vermittels
hhdπg (v), dπg (w)iigH := hv, wig , v, w ∈ (Lg )∗ m, g ∈ G .
Somit ist (G/H, hh , ii) homogener Raum und π : (G, h , i) → (G/H, hh , ii) eine riemannsche
Submersion. Alle homogene Metriken auf G/H sind so definiert.
Zu jedem homogenen Raum (M, g) und jedem Punkt p ∈ M existieren Liegruppen G und
H, und eine wie oben beschriebenen Metrik hh , ii, so dass (M, g) und (G/H, hh , ii) isometrisch
sind und H die Standgruppe von p ist (d.h. p mit eH ∈ G/H identifiziert ist).
Aufgabe 2. Mit der gleichen Notation wie oben zeigen Sie:
(a) m ist AdH -invariant, d.h. Adh X ∈ m für alle X ∈ m und alle h ∈ H, und die Metrik
hh , ii auf G/H ist wohldefiniert.
(b) h[X, Y ], Zie = −hY, [X, Z]ie , für alle X ∈ h und alle Y, Z ∈ g.
(c) Für X ∈ g ist das Vektorfeld X ∗ auf G/H gegeben durch X ∗ (gH) = dπg ((Rg )∗ X).
(d) Es gilt [X ∗ , Y ∗ ](gH) = −[X, Y ]∗ (gH), für alle X, Y ∈ g und alle g ∈ G.
e und Ye auf G mit X(e)
e
Hinweis: Betrachten Sie die rechtsinvarianten Vektorfelder X
=
X und Ye (e) = Y . Erinnern Sie sich, dass die Lieklammer der Vektorfelder V und W auf
d
dϕ−t (W (ϕt (p)))|t=0 gegeben ist, wobei
einer Mannigfaltigkeit M durch [V, W ](p) = dt
p ∈ M und ϕt der Fluss von V ist.
Aufgabe 3. Zeigen Sie, dass eine vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit (M n , h , i)
genau dann ein homogener Raum ist, wenn für alle p ∈ M Killing-Vektorfelder X1p , . . . , Xnp
existieren, so dass {X1p (p), . . . , Xnp (p)} eine Basis von Tp M ist.
Hinweis: (M, h , i) ist isometrisch zu (G/H, hh , ii) für geeignete Liegruppen G und H.
Aufgabe 4. Mit der gleichen Notation wie vorher, sei (G/H, hh , ii) ein homogener Raum
und für W ∈ g setzen wir W = Wh + Wm mit Wh ∈ h und Wm ∈ m. Zeigen Sie:
(a) Es gilt hhX ∗ (eH), Y ∗ (eH)iieH = hX, Y ie = hhX ∗ (eH), (Ym )∗ (eH)iieH , für alle X ∈ m
und Y ∈ g.
(b) Es gilt
(∇X ∗ Y ∗ )(eH) = − 21 ([X, Y ]m )∗ (eH) + U (X, Y )∗ (eH),
für alle X, Y ∈ m, wobei U : m × m → m die durch
2hU (X, Y ), Zie = h[X, Z]m , Y ie + hX, [Y, Z]m ie , Z ∈ m,
definierte Abbildung ist.
(c) Für alle X, Y ∈ m, gilt
hhR(X ∗ , Y ∗ )Y ∗ , X ∗ iieH = − 34 k[X, Y ]m k2e − 12 h[X, [X, Y ]]m , Y ie − 12 h[Y, [Y, X]]m , Xie
+ kU (X, Y )k2e − hU (X, X), U (Y, Y )ie .
Aufgabe 5. Sei G ⊂ SO(N ) eine kompakte Lieuntergruppe. Das Skalarprodukt hX, Y i0 =
− 21 (Spur(XY )) auf g induziert eine Riemannsche Metrik auf G. Zeigen Sie:
(a) Die Metrik h , i0 auf G ist biinvariant.
(b) Die Schnittkrümmung der durch (SU (3), h , i0 ) induzierten Metrik hh , ii auf dem homogenen Raum SU (3)/SU (2) ∼
= S 5 ⊂ C3 ist nicht-konstant. Es folgt, dass hh , ii nicht
die Standardmetrik auf S 5 ist.
Hinweis: Bestimmen Sie eine orthonormale Basis {Ei } des orthogonalen Komplements
m von su(2) ⊂ su(3) und zeigen Sie, dass sec((Ei )∗ , (Ej )∗ ), 1 6 i < j 6 5, nicht-konstant
ist.
Abgabe der Lösungen zu diesem Blatt bis Freitag, dem 28.1.2011, um 8.30 Uhr im Briefkasten der
Übungsgruppe (30) im Hörsaalgebäude.