Aufgabe 5

Topologie – Serie 2
Olaf Merkert, 22. März 2011
Aufgabe 5
Sei (F, d) ein metrischer Raum, p ∈ F ein ausgezeichneter Punkt. Definiere
(
0
x=y
dp (x, y) =
.
d(x, p) + d(p, y) x 6= y
Behauptung 1. dp : F × F →
Beweis.
R ist eine Metrik.
(i) dp (x, y) ≥ 0 folgt direkt aus d(x, p), d(p, y) ≥ 0.
Klar gilt auch immer dp (x, x) = 0. Zu zeigen ist noch dp (x, y) = 0 =⇒ x = y:
Seien x, y ∈ F mit d( x, y) = 0 mit x 6= y. Dann ist dp (x, y) = d(x, p) +
d(p, y) = 0. Da d(x, p), d(p, y) ≥ 0, so muss d(x, p) = 0 und d(p, y) = 0
gelten. Da d Metrik ist, folgt x = p und p = y, also x = y. Widerspruch.
(ii) dp (x, y) = dp (y, x) ist offensichtlich erfüllt, da auch d symmetrisch ist, und
( , +) eine abelsche Gruppe ist.
R
(iii) Es fehlt noch die Dreiecksungleichung dp (x, z) ≤ dp (x, y) + dp (y, z):
Die Fälle x = z, x = y und y = z sind allesamt trivial.
Seien also x 6= z, x 6= y und y 6= z. Dann folgt mit d(p, y) ≥ 0:
dp (x, z) = d(x, p)+d(p, z) ≤ d(x, p)+d(p, y)+d(y, p)+d(p, z) = dp (x, y)+dp (y, z)
Nun fixiere F =
R2, d = d2 die euklidische Metrik, p = 0.
Behauptung 2. x ∈ F, x 6= p =⇒ {x} offen in O(dp ).
Beweis. x 6= p =⇒ ε := d(x, p) > 0. Dann ist die offene Kugel
kdε p (x) = {y ∈ F : dp (x, y) < ε} = {x}
da y 6= x =⇒ dp (x, y) = d(x, p) + d(p, y) ≥ ε
| {z } | {z }
=ε
1
≥0
Topologie – Serie 2
d
Behauptung 3. Kε p (p) = Kdε (p),
Olaf Merkert, 22. März 2011
d
kε p (p) = kdε (p)
Beweis.
y 6= p : dp (y, p) = d(y, p) + d(p, p) = d(y, p)
| {z }
=0
Es folgt, dass O(dp ) 6⊂ O(d), da {x} nicht offen in O(d), also insbesondere
O(dp ) 6= O(d).
Es gilt aber O(dp ) ⊃ O(d), da
(
d
falls x = p ∃ε0 = ε > 0 :
Kε0p (x) ⊂ Kdε (x)
∀x ∈ F : ∀ε > 0 :
d
falls x 6= p ∃ε0 = d(x, p) > 0 : Kε0p (x) = {x} ⊂ Kdε (x)
Bemerkung 1. O(dp ) ist fast die diskrete Topologie. Wenn man den Teilraum F \
{p} betrachtet, so ist darauf die Teilraumtopologie bezüglich F mit der Topologie
O(dp ) die diskrete Topologie.
Bemerkung 2. Diese Metrik sollte man Postmetrik nennen. Denn die Post sammelt
an allen Orten Briefe ein, transportiert sie zum zentralen Verteilzentrum, sortiert
sie dort und transportiert sie anschließend an den Zustellort.1
Unter der Metrik der französischen Eisenbahn kann man sich konkreter folgende
Metrik vorstellen:
Sei V ein Vektorraum mit Metrik d : V × V → . Definiere nun
(
d(x, y)
falls x, y linear abhängig
d0 (x, y) =
d(x, 0) + d(0, y) falls x, y linear unabhängig
R
x, y linear abhängig heißt, dass beide Punkte auf einer Geraden durch 0, also
einen 1-dimensionalen Unterraum liegen.
Ähnlich wie für dp kann man zeigen, dass d0 eine Metrik ist. Wenn V = 2 ist,
kann man sich Paris in 0 denken. Wenn man von einem Ort zu einem anderen
gelangen will, muss man über Paris fahren, es sei denn, die Orte liegen beide an
derselben Bahnlinie, die von Paris ausgeht.
R
1
In der Schweiz ist das nicht ganz so extrem: Es gibt immerhin drei große Verteilzentren.
Aber bis auf Ausnahmen (z.B. A-Post innerhalb des Tessin) laufen alle Briefe über diese
Verteilzentren.
2