3. Aufgabenblatt
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Lineare Algebra
Wintersemester 2015/16
Stefan Fredenhagen
3. Aufgabenblatt
Die Lösungen zu den Aufgaben sind am 09.11. vor der Vorlesung abzugeben.
3.1
Normalenvektor (4 Punkte)
Seien u, v, t ∈ Rn und t 6= 0. Betrachten Sie die Gerade
Gv,t = {v + λ · t | λ ∈ R} .
a) Bestimmen Sie einen Punkt w ∈ Gv,t auf der Geraden, sodass u−w orthogonal
ist zum Richtungsvektor t.
b) Zeigen Sie, dass für alle w0 ∈ Gv,t gilt
||w − u|| ≤ ||w0 − u|| .
3.2
Ellipse (4 Punkte)
Seien a, c ∈ R reelle Zahlen mit 0 ≤ c < a. Wir betrachten die Ellipse
( )
x2
2
x
x1
∈ R2 21 + 2 2 2 = 1 .
x2
a
a −c
x1
Zeigen Sie, dass für jeden Punkt x =
der Ellipse der Streckenzug vom Punkt
x2
c
−c
über x nach f2 =
die Länge 2a hat, d.h. dass
f1 =
0
0
||f1 − x|| + ||x − f2 || = 2a .
3.3
Seien
Lineare (Un)abhängigkeit (4 Punkte)
1
1
1
v1 = √
3 1
,
0
v2 = 1
0
,
1
1
0
v3 = √
2 1
Vektoren im R3 . Überprüfen Sie, ob die Vektoren linear abhängig oder unabhängig
sind. Konstruieren Sie dann einen normierten Vektor v4 (||v4 || = 1), der orthogonal
zu v1 und v2 ist. Bestimmen Sie den Winkel zwischen v4 und v3 . Diskutieren Sie das
Ergebnis und zeichnen Sie die Vektoren.
Lineare Algebra
3.4
Wintersemester 2015/16
Stefan Fredenhagen
Alternative Abstandsbegriffe* (ohne Wertung)
a) Wir definieren die sogenannte Französische Eisenbahnmetrik auf dem R2 wie
folgt: Sei p ∈ R2 ( Paris“), dann definieren wir
”
||v − w||
falls v, w und p auf einer Geraden liegen,
Dp (v, w) =
||v − p|| + ||p − w|| sonst.
Zeigen Sie, dass Dp die Dreiecksungleichung erfüllt, dass also für alle u, v, w ∈
R2 gilt
Dp (u, w) ≤ Dp (u, v) + Dp (v, w) .
b) Sei p ∈ N eine Primzahl. Dann bilden wir auf Z folgende Metrik:
0
falls m = n
dp (m, n) =
−np (|m−n|)
p
sonst,
wobei np (x) die Multiplizität von p in der Primfaktorzerlegung von x ∈ N
bezeichnet: x = pnp (x) · x0 mit einer natürlichen Zahl x0 , die nicht durch p
teilbar ist.
Zeigen Sie, dass dp die verschärfte Dreieicksungleichung erfüllt:
dp (m, r) ≤ max dp (m, n), dp (n, r) ,
wobei max(a, b) das Maximum der beiden Zahlen a, b bezeichnen soll.
(Diesen Abstandsbegriff nennt man die p-adische Metrik, die auf ähnliche Weise auch auf Q eingeführt werden kann.)
