Vollständige Induktion

KAPITEL 1
Vollständige Induktion
Prinzip der vollständigen Induktion (Klassische Version)
Es sei A(n) eine Aussage abhängig von n ∈ N. Gilt
(i) A(1) ist wahr.
(ii) Für alle n ∈ N gilt A(n) ⇒ A(n + 1).
dann ist A(n) für alle n ∈ N wahr.
Anwendungen:
a) Für jedes n ∈ N ist n3 + 2n durch drei teilbar.
b) (Achtung Falle): Für jedes n ∈ N ist 1 + n! gerade. IA: 1 + 1! = 2. IA:
Sei 1 + n! gerade. IS:
1 + (n + 1)! = 1 + n!(n + 1) = 1 + n!n + n! =
(1 + n!)
+ |1 · 2 · {z
. . . n · n}
| {z }
gerade
gerade nach IA
c) Wohlordnungsprinzip: Jede nichtleere Teilmenge von N hat ein minimales Element.
Satz 1.1. Das Prinzip der vollständigen Induktion ist äquivalent
zum Wohlordnungsprinzip.
Variante I Es sei A(n) eine Aussage, abhängig von n ∈ Z. Weiter sei n0 ∈ Z.
Gilt
(i) A(n0 ) ist wahr.
(ii) Für alle n ≥ n0 gilt A(n) ⇒ A(n + 1).
dann ist A(n) für alle n ≥ n0 wahr.
Anwendung: Für alle n ≥ 4 ist 2n ≤ n!.
Variante II Es sei A(n) eine Aussage abhängig von n ∈ N. Gilt
(i) A(1) und A(2) sind wahr.
(ii) Für alle n ∈ N gilt A(n) ∧ A(n + 1) ⇒ A(n + 2)
dann ist A(n) für alle n ∈ N wahr.
Anwendung: (Aus dem Staatsexamen
Herbst 2014:) Für die Folgeglieder fn
n
der Fibonaccifolge gilt fn ≥ 94 32 .
Variante III Es sei A(n) eine Aussage abhängig von n ∈ N. Gilt
(i) A(1) ist wahr.
(ii) Für alle n ∈ N gilt A(1) ∧ A(2) ∧ · · · ∧ A(n) ⇒ A(n + 1).
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dann ist A(n) für alle n ∈ N wahr.
Anwendung: Ist pn die n-te Primzahl (der größe nach geordnet), dann gilt
n−1
p n ≤ 22 .
Beispiel für eine exotische Variante Es sei A(n) eine Aussage, abhängig
von n ∈ N. Gilt
(i) A(2) ist wahr.
(ii) Für alle n ∈ N gilt A(n) ⇒ A(n − 1).
(iii) Für alle n ∈ N gilt A(n) ⇒ A(2n).
dann ist A(n) für alle n ∈ N wahr.
Anwendung: Es seien a1 , a2 , . . . , an positive reelle Zahlen, dann gilt:
√
a1 + a2 + · · · + an
n
.
a1 a2 · · · an ≤
n
Übung: Diskussion: Es sei A(n) eine Aussage, abhängig von einem Parameter n ∈ N.
a) Es gelte:
(i) A(1) ist wahr.
(ii) Für alle n ∈ N gilt A(n) ⇒ A(2n).
(iii) Für alle n ∈ N gilt A(n) ⇒ A(3n).
Folgt aus (i), (ii) und (iii), dass A(n) für alle n ∈ N wahr ist?
b) Es gelte:
(i) A(1) ist wahr.
(ii) Für alle n ∈ N gilt A(n) ⇒ A(n + 2).
(iii) Für alle n ∈ N gilt A(n) ⇒ A(2n).
Folgt aus (i), (ii) und (iii), dass A(n) für alle n ∈ N wahr ist?