KAPITEL 1 Vollständige Induktion 1. Wohlordnungsprinzip Prinzip der vollständigen Induktion (Klassische Version) Es sei A(n) eine Aussage abhängig von n ∈ N. Gilt (i) A(1) ist wahr. (ii) Für alle n ∈ N gilt A(n) ⇒ A(n + 1) dann ist A(n) für alle n ∈ N wahr. Wohlordnungsprinzip: Jede nichtleere Teilmenge von N hat ein minimales Element. Satz 1.1. Das Prinzip der vollständigen Induktion ist äquivalent zum Wohlordnungsprinzip 2. Varianten Prinzip der vollständigen Induktion (Version II) Es sei A(n) eine Aussage abhängig von n ∈ Z. Weiter sei n0 ∈ Z. Gilt (i) A(n0 ) ist wahr. (ii) Für alle n ≥ n0 gilt A(n) ⇒ A(n + 1) dann ist A(n) für alle n ≥ n0 wahr. Prinzip der vollständigen Induktion (Version III) Es sei A(n) eine Aussage abhängig von n ∈ N. Gilt (i) A(1) und A(2) sind wahr. (ii) Für alle n ∈ N gilt A(n) ∧ A(n + 1) ⇒ A(n + 2) dann ist A(n) für alle n ∈ N wahr. Prinzip der vollständigen Induktion (Version IV) Es sei A(n) eine Aussage abhängig von n ∈ N. Gilt (i) A(1) ist wahr. (ii) Für alle n ∈ N gilt A(1) ∧ A(2) ∧ · · · ∧ A(n) ⇒ A(n + 1) dann ist A(n) für alle n ∈ N wahr. Satz 1.2. Ist pn die n-te Primzahl (der größe nach geordnet), dann gilt pn ≤ n−1 22 4 Prinzip der vollständigen Induktion (exotische Versionen) Beispiel: Es sei A(n) eine Aussage abhängig von n ∈ N. Gilt (i) A(2) ist wahr. (ii) Für alle n ∈ N gilt A(n) ⇒ A(n − 1) (iii) Für alle n ∈ N gilt A(n) ⇒ A(2n) dann ist A(n) für alle n ∈ N wahr. Satz 1.3 (Geometrsiches und arithmetisches Mittel). Seien a1 , a2 , . . . , an positive reelle Zahlen, dann gilt: √ a1 + a2 + · · · + an n a1 a2 · · · an ≤ , n