Vollständige Induktion

KAPITEL 1
Vollständige Induktion
1. Wohlordnungsprinzip
Prinzip der vollständigen Induktion (Klassische Version)
Es sei A(n) eine Aussage abhängig von n ∈ N. Gilt
(i) A(1) ist wahr.
(ii) Für alle n ∈ N gilt A(n) ⇒ A(n + 1)
dann ist A(n) für alle n ∈ N wahr.
Wohlordnungsprinzip: Jede nichtleere Teilmenge von N hat ein minimales
Element.
Satz 1.1. Das Prinzip der vollständigen Induktion ist äquivalent zum
Wohlordnungsprinzip
2. Varianten
Prinzip der vollständigen Induktion (Version II)
Es sei A(n) eine Aussage abhängig von n ∈ Z. Weiter sei n0 ∈ Z. Gilt
(i) A(n0 ) ist wahr.
(ii) Für alle n ≥ n0 gilt A(n) ⇒ A(n + 1)
dann ist A(n) für alle n ≥ n0 wahr.
Prinzip der vollständigen Induktion (Version III)
Es sei A(n) eine Aussage abhängig von n ∈ N. Gilt
(i) A(1) und A(2) sind wahr.
(ii) Für alle n ∈ N gilt A(n) ∧ A(n + 1) ⇒ A(n + 2)
dann ist A(n) für alle n ∈ N wahr.
Prinzip der vollständigen Induktion (Version IV)
Es sei A(n) eine Aussage abhängig von n ∈ N. Gilt
(i) A(1) ist wahr.
(ii) Für alle n ∈ N gilt A(1) ∧ A(2) ∧ · · · ∧ A(n) ⇒ A(n + 1)
dann ist A(n) für alle n ∈ N wahr.
Satz 1.2. Ist pn die n-te Primzahl (der größe nach geordnet), dann gilt pn ≤
n−1
22
4
Prinzip der vollständigen Induktion (exotische Versionen)
Beispiel: Es sei A(n) eine Aussage abhängig von n ∈ N. Gilt
(i) A(2) ist wahr.
(ii) Für alle n ∈ N gilt A(n) ⇒ A(n − 1)
(iii) Für alle n ∈ N gilt A(n) ⇒ A(2n)
dann ist A(n) für alle n ∈ N wahr.
Satz 1.3 (Geometrsiches und arithmetisches Mittel). Seien a1 , a2 , . . . , an positive reelle Zahlen, dann gilt:
√
a1 + a2 + · · · + an
n
a1 a2 · · · an ≤
,
n