Aufgabe 1 Aufgabe 2 Aufgabe 3

Dr. Werge, S. Hintze
WS 2016/2017
Grundwissen Schulmathematik
Übungsaufgaben Serie 13 - Zusatzserie
Abgabe: Dienstag, 24.01.2017, 11:15 Uhr im Hs 5
Aufgabe 1
a) Zeigen Sie, dass für X = [1, +∞] die Abbildung d : X × X mit
1 1
d(x, y) = − x y
eine Metrik ist.
(2P)
b) Sei d : X × X eine Metrik und x, y, u, v ∈ X. Zeigen Sie die Gültigkeit der folgenden Ungleichung.
(4P)
|d(x, y) − d(u, v)| ≤ d(x, u) + d(v, y)
Aufgabe 2
Die LVB stellt folgendes neues Preissystem vor. Man zahlt 0,30 e pro gefahrene Haltestelle, wenn
es eine direkte Verbindung über den Hauptbahnhof zwischen zwei Haltestellen A und B gibt. Wenn
es keine solche Verbindung gibt, sei a bzw. b die Anzahl der Haltestellen von A bzw. B bis zum
Hauptbahnhof. Der Preis wird dann mit (a + b)·0,30 e berechnet.
Zeigen Sie, dass dieser Berechnung eine Metrik zugrundeliegt. Welche Annahme müssen Sie dafür
treffen? Liegt diese in der Realität vor?
(6P)
Aufgabe 3
Gegeben sei die lineare Kongruenz 16x ≡ −9 (mod 13).
a) Zeigen Sie, dass diese Kongruenz lösbar ist.
(1P)
b) Bestimmen Sie alle x ∈ Z, welche diese Kongruenz erfüllen.
(3P)
Hinweis: Achten Sie darauf, dass alle Umformungen auch Äquivalenzumformungen sind.
c) Geben Sie die drei kleinsten natürlichen Zahlen an, welche zur Lösungsmenge der Kongruenz
gehören.
(1P)
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Aufgabe 4
In der Methodisch Geordneten Aufgabensammlung aus dem Jahre 1880 befindet sich folgende Aufgabe:
Wie kann man den Bruch
200
77
in zwei Brüche zerlegen, deren Nenner 11 und 7 sind?
a) Begründen Sie, dass die Lösung dieser Aufgabe mit Hilfe der linearen Kongruenz
200 ≡ 11x
(mod 7)
bestimmt werden kann. Nutzen Sie hierfür die aus dem Mathematikunterricht bekannten Rechenregeln für gemeine Brüche.
(2P)
b) Bestimmen Sie alle x ∈ Z, welche diese Kongruenz erfüllen.
(4P)
c) In der ursprünglichen Aufgabe sollten alle positiven Brüche ermittelt werden. Bestimmen Sie
mit Hilfe der Lösung von Teilaufgabe b) alle in der ursprünglichen Aufgabe gesuchten Brüche.
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