Aufgabe 1 Aufgabe 2 Aufgabe 3

S. Hintze
WS 2016/2017
Grundlagen der Mathematik
Übungsaufgaben Serie 12
Abgabe: Mittwoch, 18.01.2017, 9:15 Uhr im Hs 6
Aufgabe 1
Bestimmen Sie die Reste, welche die Zahlen bei der angegebenen Division lassen.
(6P)
a) 51111 bei Division durch 8
b) 11111111 bei Division durch 9
c) 13121111 bei Division durch 11
Aufgabe 2
Gegeben sei die lineare Kongruenz 16x ≡ −9 (mod 13).
a) Zeigen Sie, dass diese Kongruenz lösbar ist.
(1P)
b) Bestimmen Sie alle x ∈ Z, welche diese Kongruenz erfüllen.
(3P)
Hinweis: Achten Sie darauf, dass alle Umformungen auch Äquivalenzumformungen sind.
c) Geben Sie die drei kleinsten natürlichen Zahlen an, welche zur Lösungsmenge der Kongruenz
gehören.
(1P)
Aufgabe 3
In der Methodisch Geordneten Aufgabensammlung aus dem Jahre 1880 befindet sich folgende Aufgabe:
Wie kann man den Bruch
200
77
in zwei Brüche zerlegen, deren Nenner 11 und 7 sind?
a) Begründen Sie, dass die Lösung dieser Aufgabe mit Hilfe der linearen Kongruenz
200 ≡ 11x
(mod 7)
bestimmt werden kann.
(2P)
b) Bestimmen Sie alle x ∈ Z, welche diese Kongruenz erfüllen.
(4P)
c) In der ursprünglichen Aufgabe sollten alle positiven Brüche ermittelt werden. Bestimmen Sie
mit Hilfe der Lösung von Teilaufgabe b) alle in der ursprünglichen Aufgabe gesuchten Brüche.
Universität Leipzig
Fakultät für Mathematik und Informatik
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