¨Ubungen Analysis II*

Übungen Analysis II* - SS 2008
Vorlesender: Prof. Dr. Jochen Brüning
Übungsleiter: Dr. Jörg Wolf
Raum: 1.011
3. Juni. 2008
20. Metrische Räume
20.1 Definition Sei X eine Menge. Eine Abbildung d : X × X → [0, ∞) heißt Metrik, falls d
den folgenden Eigenschaften genügt:
(i)
d(x, y) = 0
⇔
x=y
(Reflexivität),
(ii)
d(x, y) = d(y, x) ∀ x, y ∈ X
(Symmentrie),
(iii)
d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ∀ x, y, z ∈ X
(Dreiecksungleichung).
Das Paar (X, d) heißt metrischer Raum.
20.2 Sei (X, d) ein metrischer Raum. Die offene Kugel Br (x) = {y ∈ X; d(x, y) < r} ist offen.
Beweis. Sei y ∈ Br (x). Wir setzen ε := r −d(x, y). Dann gilt Bε (y) ⊆ Br (x), denn ist z ∈ Bε (y),
so ergibt sich mit Hilfe der Dreiecksungleichung
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) < d(x, y) + ε = r
⇒
z ∈ Br (x).
Somit ist jeder Punkt von Br (x) ein innerer Punkt.
20.3 Beispiel Der Durchschnitt unendlich vieler offener Mengen muss nicht offen sein, wie
das folgende Beispiel zeigt. Sei X = R ausgestattet mit der üblichen Metrik. Dann sind
³ 1 1´
(n ∈ N) offen. Der Durchschnitt dieser Mengen ist die Menge {0},
die Mengen − ,
n n
welche nicht offen ist.
20.4 Definition Sei (X, d) ein Metrischer Raum. Sei O das System der in (X, d) offenen
Mengen. Das System O genügt den folgenden Eigenschaften.
(O1) X, 0/ ∈ O,
(O2) {Oi }i∈I ⊆ O
⇒
(O3) Oi ∈ O (i = 1, . . . , m)
∪i∈I Oi ∈ O,
⇒
∩m
i=1 Oi ∈ O.
Ein Mengensystem O, welches den Eigenschaften (O1)-(O3) genügt heißt Topologie und das
Paar (X, O) heißt topologischer Raum. Daher ist jeder metrischer Raum auf natüliche Weise
ein toplogischer Raum. Hierbei kann es sein, dass zwei verschiedene Metriken auf X ein
und die selbe Topologie erzeugen (siehe äquivalente Metriken). Daher unterscheidet man
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zwischen topologischen und metrischen Eigenschaften. Die folgende Tabelle fasst einige
Begriffe zusammen
topologisch
offen
abgeschlossen
Rand
kompakt
dicht
stetig
metrisch
Kugel
Durchmesser
beschränkt
20.5 Definition Sei X eine Menge. Zwei Metriken d1 und d2 auf X heißen äquivalent falls
positive Konstanten c1 , c2 existieren, so dass
c1 d(x, y) ≤ d2 (x, y) ≤ c2 d1 (x, y) ∀ x, y ∈ X.
20.6 Sei X eine Menge. Seien d1 und d2 zwei äquivalente Metriken auf X. Dann
U
offen in
(X, d1 )
⇔
U
offen in
(X, d2 )
(d )
Beweis ⇒: Sei U offen in (X, d1 ). Sei x ∈ U. Dann existiert ein ε > 0, so dass Bε 1 (x) ⊆ U.
(d )
(d )
Nach Voraussetzung gilt d1 (x, y) ≤ c11 d2 (x, y) ∀ y ∈ X. Also gilt Bc1 2ε (x) ⊆ Bε 1 (x). Somit
ist x innerer Punkt bezüglich d2 . Dies zeigt dass U in (X, d2 ) offen ist.
⇐: Wird analog wie oben bewiesen
20.7 Beispiel Sei X der Rand eines gleichmäßigen Achtecks vom Durchmeser 1 vereinigt
mit seinen Diagolnalen. Für x, y ∈ X sei d(x, y) die Länge des kürzesten Weges von x nach y
in X. Dann ist d : X × X → R eine Metrik in X. Die folgende Abbidung zeigt graphisch die
Kugel B1 (x0 ) in (X, d).
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