Mengentheoretische Topologie Inhaltsverzeichnis

Mengentheoretische Topologie
Proseminar Lineare Algebra (WS 2013/2014)
Altje Frank
15. Oktober 2013
Inhaltsverzeichnis
1 Mengentheoretische Grundlagen
2
1.1
Logische Kürzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Abbildungen
7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Metrische Räume
15
2.1
Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.2
Durch Normen erzeugte Metriken . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.3
Nicht durch Normen erzeugte Metriken . . . . . . . . . . . . .
21
2.4
Einschränkung auf Teilmengen . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.5
Metriken auf dem Produkt zweier metrischer Räume . . . . .
21
2.6
Oene und abgeschlossene Mengen und Umgebungen . . . . .
22
2.7
Eigenschaften oener Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.8
Randpunkt, innerer Punkt und abgeschlossene Hülle . . . . .
23
2.9
Abstand zweier Teilmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
1
Einleitung:
Mein Proseminarbeitrag stützt sich vorwiegend auf die ersten elf Seiten der
Seminarlektüre
Querenburg, Boto von (2001): Mengentheoretische Topologie. 3., neubearbeitete und erweiterte Auage, Berlin u.a.: Springer.
Zusätzliche Informationen entnahm ich
Arens, Tilo u.a. (2013): Grundwissen Mathematikstudium. Analysis und Lineare Algebra mit Querverbindungen, Berlin; Heidelberg: Springer.
1
Mengentheoretische Grundlagen
Zu Beginn gebe ich eine kurze Wiederholung mengentheoretischer Grundlagen, die für unsere Erarbeitung des Themas der mengentheoretischen Topologie wichtig sind.
1.1 Logische Kürzel
∀
: für alle,
∃
: es existiert,
(a) ⇒ (b) : aus (a) folgt (b),
(a) ⇐ (b) : aus (b) folgt (a),
(a) ⇔ (b) : (a) gilt genau dann, wenn (b) gilt,
:=
: nach Denition gleich,
(a) :⇔ (b),
(b) ⇔: (a) : (a) gilt nach Denition genau dann, wenn (b) gilt,
1.2 Mengen
a∈A
: a ist Element einer Menge A,
a∈
/A
: a ist nicht Element einer Menge A
{a ∈ A|E(a)} : Die Menge aller Elemente a von A, auf die die Eigenschaft
E zutrit.
2
Feste Bezeichnungen für häuge spezielle Mengen:
∅
N
N∗
Z
Q
R
C
R+
R∗
R∗+
: leere Menge,
: natürliche Zahlen einschieÿlich Null,
: natürliche Zahlen ohne Null,
: ganze Zahlen,
: rationale Zahlen,
: reelle Zahlen,
: komplexe Zahlen,
: reelle Zahlen gröÿer oder gleich Null,
: reelle Zahlen ohne Null,
: relle Zahlen gröÿer als Null.
Beziehungen zwischen Mengen:
A ⊂ B :⇔ (a ∈ A ⇒ a ∈ B) : Teilmenge,
A ⊃ B :⇔ (b ∈ B ⇒ b ∈ A) :
Obermenge,
3
A = B :⇔ (A ⊂ B ∧ B ⊂ A) :
A\B := {a ∈ A|a ∈
/ B} :
Gleich,
ohne,
(Ai )i∈I : Ist I eine beliebige Indexmenge und A eine Mengen, so ist Ai für
jedes
i ∈ I eine Teilmenge von A.
S
i∈I Ai := {x ∈ A|∃i ∈ I : x ∈ Ai } : Vereinigung,
4
T
i∈I
Ai := {x ∈ A|x ∈ Ai ∀i ∈ I} :
Durchschnitt,
Wichtige Vorschriften beim Rechnen mit Mengen:
Seien A, B, I Mengen. Hierbei B ⊂ A und I Indexmenge zu den Teilmengen
Bi von
T
S A, so gilt
A\( i∈I Bi ) = i∈I (A\Bi ),
T
S
A\( i∈I Bi ) = i∈I (A\Bi ),
5
B∩(
S
B∪(
T
i∈I
Bi ) =
S
i∈I (B
∩ Bi ),
i∈I
Bi ) =
T
i∈I (B
∪ Bi ).
6
1.3 Abbildungen
Eine Abbildung f von einer Menge X in eine Menge Y (f : X → Y ) ordnet
jedem x ∈ X ein y ∈ Y zu (f (x) = y oder x 7→ y ).
Eigenschaften von Abbildungen:
Injektivität liegt vor, wenn aus f (x1 )
= f (x2 ) für x1 , x2 ∈ X folgt, dass
x1 = x2 ist. Mit anderen Worten ist eine Abbildung f : X → Y genau dann
injektiv, wenn zu jedem y ∈ Y höchstens ein x ∈ X mit f (x) = y existiert.
Surjektivität liegt vor, wenn zu jedem y ∈ Y ein x ∈ X existiert mit f (x) = y.
Anders ausgedrückt ist eine Abbidung f : Y → Y genau dann surjektiv, wenn
zu jedem y ∈ Y mindestens ein x ∈ X mit f (x) = y existiert.
7
Eine Abbildung besitzt die Eigenschaft der Bijektivität, falls sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Dies ist der Fall, wenn zu jedem y ∈ Y genau
ein x ∈ X mit f (x) = y existiert.
Urbilder:
Jede Abbildung f : X → Y induziert eine Abbildung f −1 : P (Y ) → P (X)
(wobei beispielsweise P (X) die Menge der Teilmengen von X bezeichnet.
P (X) heiÿt auch Potenzmenge von X ).
Für Xi ⊂ X und Yi ⊂ Y (i ∈ I) gelten:
1. f −1 (
S
i∈I
Yi ) =
S
i∈I
f −1 (Yi ),
8
Beweis:
S
⊆:
SeiSx ∈ f −1 ( i∈I Yi )
⇒ f (x) ∈ i∈I Yi
⇒ ∃j ∈ I : f (x) ∈ Yj
⇒ x ∈ fS−1 (Yj ) für obiges j
⇒ x ∈ i∈I f −1S
(Yi )
⊇:
Sei x ∈ i∈I f −1 (Yi )
⇒ ∃j ∈ I : x ∈ f −1 (Yj )
⇒ ∃j ∈ I :Sf (x) ∈ Yj
⇒ f (x) ∈ S
i∈I Yi
−1
⇒ x ∈ f ( i∈I Yi )
T
T
2. f −1 ( i∈I Yi ) = i∈I f −1 (Yi ),
Beweis:
T
⊆:
SeiTx ∈ f −1 ( i∈I Yi )
⇒ f (x) ∈ i∈I Yi
⇒ ∀i ∈ I : f (x) ∈ Yi
⇒ x ∈ fT−1 (Yi )∀i ∈ I
⇒ x ∈ i∈I f −1T
(Yi )
⊇:
Sei x ∈ i∈I f −1 (Yi )
⇒ ∀i ∈ I : x ∈ f −1 (Yi )
⇒ ∀i ∈ I :T
f (x) ∈ Yi
⇒ f (x) ∈ T
i∈I Yi
⇒ x ∈ f −1 ( i∈I Yi )
9
3. f (
T
i∈I
Xi ) ⊂
T
i∈I
f (Xi ),
Beweis:
T
⊆:
SeiTy ∈ f ( i∈I Xi )
d.h. ∃x ∈ i∈I Xi : f (x) = y
⇒ ∃x : ∀i ∈ I : x ∈ Xi , f (x) = y
⇒ ∀i ∈TI : y ∈ f (Xi )
⇒ y ∈ i∈I f (Xi )
Aber!
⊇: Es lässt sich ein Gegenbeispiel anbringen.
Sei X = {0, 1}, X1 = {1} und X2 = {1}.
Sei desweiteren f : X → {0}, x 7→ 0.
X1 ∩ X2 = 0 ∩ 1 = ∅
⇒ f (X1 ∩ X2 ) = ∅
f (X1 ) = f (0) = 0 und f (X2 ) = f (1) = 0
f (X1 )T∩ f (X2 ) =T{0} =
6 ∅
⇒ f ( i∈I Xi ) 6= i∈I f (Xi )
10
4. f (
S
i∈I
Xi ) =
S
i∈I
f (Xi ),
Beweis:
S
⊆:
SeiSy ∈ f ( i∈I Xi )
d.h. ∃x ∈ i∈I Xi : f (x) = y
⇒ ∃j ∈ I, x ∈ Xj : f (x) = y
⇒ ∃j ∈SI : y ∈ f (Xj )
⇒ y ∈ i∈I f (XSi )
⊇:
Sei y ∈ i∈I f (Xi )
⇒ ∃j ∈ I : y ∈ f (Xj )
⇒ ∃x ∈ X
Sj : f (x) = y
⇒ ∃x ∈ Si∈I Xi : f (x) = y
⇒ y ∈ f ( i∈I Xi )
5. f : X → Y injektiv ⇔ ∀E, F ⊂ X : f (E ∩ F ) = f (E) ∩ f (F ),
11
⇒:
⊆:
f (E ∩ F ) ⊂ f (E) ∩ f (F ) siehe 3. (Seite 10)
⊇: ( Sei y ∈ f (E) ∩ f (F )
y ∈ f (E) ⇒ ∃x1 ∈ E : f (x1 ) = y
⇒
y ∈ f (F ) ⇒ ∃x2 ∈ F : f (x2 ) = y
Da f (x1 ) = f (x2 ) = y folgt mit Injektivität x1 = x2
⇒ ∃x ∈ (E ∩ F ) : f (x) = y
⇒ y ∈ f (E ∩ F )
⇐:
Seien f (x1 ) = f (x2 ) =: y und E = {x1 }, F = {x2 }
Dann ist F (E) = {y} = f (F )
⇒ f (E) ∩ f (F ) = {y} = f (E ∩ F ) ⇒ E ∩ F 6= ∅ ⇒ x1 = x2 .
6. f : X → Y bijektiv ⇔ ∀E ⊂ X : f (X\E) = Y \f (E),
Beweis:
⇒:
⊆:
Sei y ∈ f (X\E))
∃1 x ∈ X\E : f (x) = y
Sei x0 6= x
⇒ ∀x0 ∈ E : f (x0 ) 6= y
⇒y∈
/ f (E)
⇒ y ∈ Y \f (E)
⊇:
Sei y ∈ Y \f (E)
d.h. y ∈ Y : y ∈
/ f (E)
⇒ ∃1 x ∈ X\E : f (x) = y
Falls x ∈ E ⇒ f (x) ∈ f (E) ist dies ein Widerspruch. ⇒ x ∈ X\E
⇒ y ∈ f (X\E)
12
⇐:
Sei E = {x}. Dann ist f (x) = y . Also ist f (E) = y
⇒ f −1 ({y}) = E
⇒ f −1 ({y}) = {x}
genau x bildest im Bildbereich auf y ab
⇒ f ist bijektiv.
Für E ⊂ X und F ⊂ Y :
7. E ⊂ f −1 (f (E)); E = f −1 (f (E))∀E ⊂ X ⇔ f injektiv,
Beweis:
E ⊂ f −1 (f (E)) folgt aus der Denition von Urbildern.
⇐:
Sei x ∈ E bel. aber fest
⇒ ∃1 y ∈ f (E) : f (x) = y
(Injektivität) ⇒ @x0 6= x, x0 ∈ E : f (x0 ) = y
⇒ f −1 (y) = {x}
⇒ f −1 (f (E)) ⊆ E
⇒ insgesamt f −1 (f (E)) = E .
⇒:
Seien x ∈ X, E = {x}.
⇒ f −1 (f (E)) = f 1 {f (x)} = {x0 |f (x0 ) = f (x)} = E = {x}.
Also ist f (0 ) = f (x) ⇒ x0 = x.
13
8. f (f −1 (F )) ⊂ F ; f (f −1 (F )) = F ∀ F ⊂ Y ⇔ f surjektiv,
Beweis:
f (f − (F )) ⊂ F folgt aus der Denition von Urbildern.
⇐:
Sei y ∈ F
(Surjektivität) ⇒ ∃xi ∈ f −1 (F ), i ∈ I bel. Indexmenge: xi ∈ f −1 ({y})
⇒ f (xi ) = y
⇒ f (f −1 (y)) = {y}
⇒ f (f −1 (F )) ⊃ F
Zusammen mit der Vorbemerkung f (f − (F )) ⊂ F folgt f (f −1 (F )) =
F.
⇒: Annahme: f ist nicht surjektiv.
⇒ ∃y ∈ F, y ∈
/ f (x)
⇒ f −1 ({y}) = ∅
f (f −1 ({x})) = f (∅) = ∅.
Dies steht im Widerspruch zu F = {y}.
⇒ f ist surjektiv.
14
2
Metrische Räume
Für einen möglichst angenehmen Einstieg in die Theorie der mengentheoretischen Topologie werde ich im Folgenden grundlegende Denitionen und
wichtige Beispiele zu metrischen Räumen anführen.
2.1 Metrik
Denition 2.1.
Eine Metrik auf einer Menge X ist eine Abbildung
d : X × X → [0, ∞[, mit den folgenden Eigenschaften:
(a) Denitheit: d(x, y) = 0 ⇔ x = y
(b) Symmetrie: d(x, y) = d(y, x) ∀x, y ∈ X
(c) Dreicksungleichung: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) ∀x, y, z ∈ X .
Das Paar (X, d) heiÿt
metrischer Raum.
Eine Metrik wird auch Distanzfunktion genannt, die zwei Raumelementen
einen Abstandswert gröÿer oder gleich Null zwischen ihnen zuordnet.
2.2 Durch Normen erzeugte Metriken
Mit Normen lassen sich bekannte Beispiele für Metriken konstruieren.
Denition 2.2.
Sei V K-VR mit K = {R, C}. Man nennt eine Abbildung
|| · || : V → [0, ∞[, x 7→ ||x|| eine Norm, wenn die folgenden drei Eignschaften
erfüllt sind:
1. Denitheit: ||x|| = 0 ⇔ x = 0
2. Homogenität: ||λx|| = |λ| · ||x|| ∀x ∈ V und λ ∈ K
3. Dreiecksungleichung: ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| ∀x, y ∈ V .
Einen K-Vektorraum V mit einer Norm || · || nennt man auch
Raum.
15
normierten
Jede Norm auf einem Vektorraum induziert per Denition d(x, y) := ||x − y||
eine Metrik.
Beweis: Sei || · || eine Norm.
1. Denitheit folgt direkt aus der Denitheit der Norm:
||x − y|| = 0 ⇔ x − y = 0, d.h. d(x, y) = 0 ⇔ x = y
2. Symmetrie folgt mit Hilfe der absoluten Homogenität der Norm:
d(x, y) = ||x − y|| = ||(−1)(y − x)|| = | − 1| · ||y − x|| = ||y − x||
3. Dreiecksungleichung gilt unter Berücksichtigung der Dreiecksungleichung für Normen:
d(x, z) = ||x−z|| = ||x−y+y−z|| ≤ ||x−y||+||y−z|| = d(x, y)+d(y, z)
Daraus folgt direkt, dass jeder normierte Vektorraum ein metrischer Raum
ist.
Beispiel 2.3. Die Summennorm || · ||1
Ein Beispiel eines normierten Raums ist der Rn mit der Summennorm ||x||1 :=
|x1 | + |x2 | + · · · + |xn |.
1. Beispiel:
6
1
∈ R2 . Dann ist
und y =
Seien x =
0
2
1
6
||
d(x, y) = ||
−
0
2
= |1 − 6| + |2 − 0|
= | − 5| + |2|
=5+2
=7
2. Beweis der Normeigenschaften:
Seien x, y ∈ Rn , λ ∈ R.
(a) Denitheit:




||x|| = || 



x1
x2
·
·
·
xn




 || = |x1 | + |x2 | + · · · + |xn | = 0



16
⇔ x1 = x2 = · · · = xn = 0 ⇔ x = 0.
(b) Homogenität:



λx1
x1
 λx2
 x2 



 ·
 · 


||λx|| = ||λ 
 ·  || = ||  ·



 ·
 · 
λxn
xn
= |λx1 | + |λx2 | + · · · + |λxn |
= |λ||x1 | + |λ||x2 | + · · · + |λ||xn |
= |λ|(|x1 | + |x2 | + · · · + |xn |)


x1
 x2 


 · 

 || = |λ|||x||.
= |λ||| 

 · 
 · 




 ||



xn
(c) Dreiecksungleichung:

 


x1
y1
(x1 + y1 )
 x 2   y2 
 (x2 + y2 )

 


 ·   · 

·




||x + y|| = || 
+
|| = || 



·
 ·   · 

 ·   · 

·
xn
yn
(xn + yn )
= |x1 + y1 | + |x2 + y2 | + · · · + |xn + yn |
≤ |x1 | + |y1 | + |x2 | + |y2 | + · · · + |xn | + |yn |
= |x1 | + |x2 | + · · · + |xn | + |y1 | + |y2 | + · · · + |yn |




y1
x1
 y2 
 x2 




 · 
 · 



= || 
 ·  || + ||  ·  || = ||x|| + ||y||.




 · 
 · 
xn
yn
17




 ||



Beispiel 2.4. Die euklidische Norm || · ||2
Ein anderes prominentes
Beispiel ist der Rn versehen mit der euklidischen
p
Norm ||x||2 := x21 + x22 + · · · + x2n .
1. Beispiel:
1
−4
Seien x =
und y =
∈ R2 , dann
2
2
p
d(x,
y)
=
(1 − (−4))2 + (2 − 2)2
√
= 25
= 5.
Also sind die beiden Punkte x und y 5 Längeneinheiten voneinander
entfernt.
2. Beweis der Normeigenschaften:
Seien x, y ∈ V, λ ∈ K.
(a) Denitheit:


x1
 x2 


p
 · 

 || = x2 + x2 + · · · + x2n = 0
||x|| = || 
1
2

 · 
 · 
xn
⇔ x1 = x2 = · · · = xn = 0.
(b) Homogenität:




x1
λ(x1 − y1 )
 x2 
 λ(x2 − y2 ) 




 · 


·
 ||


||λx|| = ||λ 
 ·  || = || 

·




 · 


·
xn
λ(xn − yn )
p
p
2
2
= (λx1 ) + (λx2 ) + · · · + (λxn )2 = λ2 x21 + λ2 x22 + · · · + λ2 x2n


x1
 x2 


p
 · 
2
2
2

 || = |λ|||x||.
= |λ| x1 + x2 + · · · + xn = |λ||| 

 · 
 · 
xn
18
(c) Dreiecksungleichung:
p
√
Wegen ||x||2 = x21 + x22 + · · · + x2n = < x, x >
⇒ ||x||2 =< x, x > und der Cauchy-Schwarz-Ungleichung:
| < x, y > | ≤ ||x|| · ||y|| folgt:
||x|| · ||y|| ≥< x, y >
⇔ ||x||2 + 2||x|| · ||y|| + ||y||2 ≥ ||x||2 + 2 < x, y > +||y||2
⇔ (||x|| + ||y||)2 ≥ ||x + y||2
⇔ ||x|| + ||y|| ≥ ||x + y||.
Beispiel 2.5. Die Maximumsnorm
|| · ||max
Auch die Maximumsnorm ||x||max := max{|x1 |, |x2 |, . . . , |xn |} ist eine wichtige spezielle Norm auf dem Rn .
1. Beispiel:
−4
1
∈ R2 , dann
und y =
Seien x =
2
2
d(x, y) = max{|1 − (−4)|, |2 − 2|} = max{|5|, |0|} = 5.
2. Beweis der Normeigenschaften:
Seien x, y ∈ V, λ ∈ K.
(a) Denitheit:


x1
 x2 


 · 

 || = max{|x1 |, |x2 |, . . . , |xn |} = 0
||x|| = || 

·


 · 
xn
⇔ |x1 | = |x2 | = · · · = |xn | = 0 ⇔ x1 = x2 = . . . xn = 0.
(b) Homogenität:




λx1
x1
 λx2 
 x2 




 · 
 · 




||λx|| = ||λ 
 || = ||  ·  ||
·




 · 
 · 
λxn
xn
= max{|λx1 |, |λx2 |, . . . , |λxn |} = max{|λ||x1 |, |λ||x2 |, . . . , |λ||xn |}
19




= |λ| max{|x1 |, |x2 |, . . . , |xn |} = |λ||| 



x1
x2
·
·
·
xn




 || = |λ|||x||.



(c) Dreiecksungleichung:

 
x1
 x2  

 
 ·  
 
||x + y|| = || 
 · +

 
 ·  



y1
(x1 + y1 )
 (x2 + y2 ) 
y2 






· 
·
 ||
|| = || 



· 
·




· 
·
xn
yn
(xn + yn )
= max{|x1 + y1 |, |x2 + y2 |, . . . , |xn + yn |}
≤ max{|x1 | + |y1 |, |x2 | + |y2 |, . . . , |xn | + |yn |}
≤ max{|x1 |, |x2 |, . . . , |xn |} + max{|y1 |, |y2 |, . . . , |yn |}




x1
y1
 x2 
 y2 




 · 
 · 




= || 
 || + ||  ·  || = ||x|| + ||y||.
 · 


 · 
 · 
xn
yn
So wie diese Normen auf dem Rn Metriken induzieren, tun sie dies auch auf
dem Cn .
Deniere D := {x ∈ V : ||x|| = 1} für die verschiedenen Normen. Für
V = R2 erhält man
20
2.3 Nicht durch Normen erzeugte Metriken
Die
diskrete
( Metrik kann auf jeder beliebigen Menge X durch
d(x, y) :=
Beweis:
0
1
für x = y
für x =
6 y
, x, y ∈ X deniert werden.
(a) Denitheit:
Die Denitheit d(x, y) = 0 ⇔ x = y ist per Denition der diskreten
Metrik gegeben.
(b) Symmetrie:
1. Fall:
x = y , dann: d(x, y) = 0 = d(y, x)
2. Fall:
x 6= y , dann: d(x, y) = 1 = d(y, x).
(c) Dreiecksungleichung:
1. Fall:
x = z , dann: d(x, z) = 0 ≤ d(x, y) + d(y, z)
2. Fall:
x 6= z ⇒ x 6= y oder y 6= z ⇒ d(x, y) = 1 oder d(y, z) = 1,
dann: d(x, z) = 1 ≤ d(x, y) + d(y, z).
2.4 Einschränkung auf Teilmengen
Eine wichtige Eigenschaft metrischer Räume ist, dass jede ihrer Teilmengen
M ⊂ X selbst wieder ein metrischer Raum ist. So lassen sich aus allen
metrischen Räumen andere metrische Räume gewinnen.
2.5 Metriken auf dem Produkt zweier metrischer Räume
Auf (X1 , d1 ) × (X2 , d2 ) lassen sich entsprechend der drei oben genannten,
durch Normen induzierten Metriken die folgenden drei Metriken einführen:
Seien x = (x1 , x2 ) und y = (y1 , y2 ) ∈ X1 × X2 :
1. d0 (x, y) := d1 (x1 , y1 ) + d2 (x2 , y2 )
p
2. d00 (x, y) := (d1 (x1 , y1 ))2 + (d2 (x2 , y2 ))2
3. d000 (x, y) := max{d1 (x1 , y1 ),d2 (x2 , y2 )}.
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2.6 Oene und abgeschlossene Mengen und Umgebungen
Denition 2.6.
Sei (X, d) ein metrischer Raum, a ∈ X und 0 < r ∈ R.
Die Menge B(a, r) := {x ∈ X|d(a, x) < r} heiÿt oene Kugel um a mit
Radius r.
Die Menge O ⊂ X heiÿt oen ⇔ ∀x ∈ O ∃r > 0 : B(x, r) ⊂ O.
Die Menge A ⊂ X heiÿt abgeschlossen ⇔ X\A oen ist.
Die Menge U ⊂ X heiÿt Umgebung von a ∈ X ⇔ oene Kugel um a, die
Teilmenge von U ist. ⇔ ∃r > 0 sodass B(a, r) ⊂ U .
Wenn also für alle Elemente einer Menge eine Umgebung existiert, die in
dieser Menge liegt, dann ist die Menge oen.
Die Einheitskreise der durch Normen induzierten Metriken ||·||1 , ||·||2 , ||·||max
in der Abbildung auf Seite 20 sind nach der Denition oener Kugeln, oene
Kugeln vom Radius r = 1, da allen Elementen reelle Zahlen 1 > 0 zugeordnet
werden.
Jede oene Kugel ist wegen der Dreiecksungleichung eine oene Menge, denn:
Sei x ∈ B(a, r) ⇒ d(a, x) < r. Sei z ∈ B(x, r − d(a, x)) ⇒ d(a, z) ≤
d(a, x) + d(x, z) < d(a, x) + r − d(a, x) = r ⇒ B(x, r − d(a, x)) ⊂ B(a, r)
2.7 Eigenschaften oener Mengen
Für einen metrischen Raum (X, d) gilt:
1. Die Vereinigung oener Mengen ist oen.
Beweis:
S
Sei i ∈ I , I Indexmenge, oene Teilmengen von X und V := i Ui .
Sei x ∈ V . Dann ∃i ∈ I mit x ∈ Ui und da Ui in X oen ist, ∃r > 0
mit B(x, r) ⊆ Ui . ⇒ B(x, r) ⊆ Ui ⊆ V . Folglich ist V oen.
2. Der Durchschnitt endlich vieler oener Mengen ist oen.
Beweis:
Seien U, V ⊆ X oene Mengen. Sei x ∈ U ∩V . Aus U und V oen folgt:
Es existieren r1 , r2 > 0 mit B(x, r1 ) ⊆ U und B(x, r2 ) ⊆ V . Jetzt setze
man r := min{r1 , r2 } > 0. ⇒ B(x, r) ⊆ B(x, r1 ) ∩ B(x, r2 ) ⊆ U ∩ V. ⇒
U ∩ V ist oene Teilmenge von X.
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Mit Induktion folgt, dass der Schnitt über immer einer Menge mehr,
wieder eine oene Menge ist.
3. Der gesamte Raum X und die leere Menge sind oen.
Beweis:
∀x ∈ X und ∀r > 0 ist B(x, r) ⊂ X . Also is X oen.
Da es kein x ∈ ∅ gibt, ist die Bedingung der oenen Menge für die leere
Menge erfüllt.
4. Eine Menge A ⊂ (X, d) ist genau dann oen in X , wenn A Umgebung
jedes seiner Punkte ist.
Beweis:
⇒: Sei A ⊂ (X, d) oen in X . Sei x ∈ A ⇒ ∃r > 0 : B(x, r) ⊂ A
⇒ A Umgebung von x ∈ X .
⇐: Sei A Umgebung jedes seiner Punkte. Sei x ∈ A. ⇒ ∃r > 0, sodass
B(x, r) ⊂ A ⇒ A ist oen.
Anmerkung:
In einem metrischen Raum ist jede einpunktige Menge abgeschlossen.
Beweis:
Sei M ⊂ X und M := {e}. Sei r der Abstand eines beliebigen Punktes
x ∈ X\M zu e, d.h. d(x, e) = r > 0.
Sei B(x, r) = {y ∈ X|d(x, y) < r} die oene Kugel um x mit Radius r.
Da d(x, e) = r ⇒ e ∈
/ B(x, r) ⇒ B(x, r) ⊂ X\M
⇒ X\M ist oen. ⇒ M ist abgeschlossen.
2.8 Randpunkt, innerer Punkt und abgeschlossene Hülle
Denition 2.7. Sei A 6= ∅ ⊂ (X, d), x ∈ X.
x ist Randpunkt von A ⇔ für jede Umgebung von x(r > 0) sowohl B(x, r) ∩
A 6= ∅ als auch B(x, r) ∩ (X\A) 6= ∅ gilt.
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x ist innerer Punkt von A ⇔ A eine Umgebung von X ist. D.h. gdw. es eine
Umgebung B(x, r), r > 0 gibt, sodass B(x, r) ⊆ A.
Ȧ := {Randpunkte von A} heiÿt der
Rand von A.
Å := {innere Punkte von A} heiÿt das
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Innere von A.
Ā := {innere Punkte und Randpunkte von A} heiÿt
von A.
abgeschlossene Hülle
Å ist die gröÿte in A enthaltene oene Menge von X .
Erklärung: A ist oen, da es für jedes Element x ∈ A eine Umgebung gibt,
die komplett in A enthalten ist. Eine Teilmenge von A bestehend aus inneren
Punkten ist auf Grund eben genannter Eigenschaft per Denition oen. Da
die Menge aller inneren Punkte die gröÿte Teilmenge dieses Typs ist folgt
die Aussage.
Ā ist die kleinste abgeschlossene Teilmenge von X , die A umfasst.
Erklärung: Die abgeschlossene Hülle ist, wie der Name schon vermuten lsst,
abgeschlossen, da sich auf jeden Fall zu allen Elementne x ∈ X\A eine oene
Kugel B(x, r) mit r > 0 nden lässt, sodass sich in der Umgebung von x
nur Elemente aus X\A benden, X\A also oen ist. Es lassen sich auch
weitere abgeschlossene Mengen B ⊃ A nden, allerdings keine kleineren
abgeschlossenen Mengen in A.
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Eine Menge A ⊂ X ist oen ⇔ Å = A.
Erklärung: Die Aussage folgt direkt aus den Denitionen oener Mengen und
innerer Punkte, da Å die gröÿte in A enthaltene oene Teilmenge ist.
Eine Menge A ⊂ X ist abgeschlossen ⇔ Ā = A.
Erklärung: Wenn Ā die kleinste abgeschlossene Menge ist, die A enthält,
dann folgt aus A abgeschlossen direkt, dass A = Ā.
Ferner ist Ā = Å ∪ Ȧ, Å ∩ Ȧ = ∅, und Ȧ = Ā ∩ X\A ist auch der Rand von
X\A.
Erklärung:
Ā = Å ∪ Ȧ ist die Denition der abgeschlossenen Hülle.
Å ∩ Ȧ = ∅: Umgebungen von Randpunkten müssen sowohl Elemente aus der
Menge A als auch aus ihrem Komplement X\A enthalten, wohingegen die
inneren Punkte Umgebungen haben, die keine Elemente aus X\A beinhalten
dürfen. Daher ist kein innerer Punkt ein Randpunkt und der Schnitt der
Menge der inneren Punkte (dem Inneren) und der Menge der Randpunkte
(Rand) leer.
Ȧ = Ā ∩ X\A: Nur Randpunkte haben in ihrer Umgebung sowohl Elemente
aus A als auch aus X\A. Daher sind sie die einzigen Elemente die die beiden
Mengen gemeinsam haben und ihr Schnitt ist aus diesem Grund die Menge
der Randpunkte.
Ȧ ist auch Rand von X\A: A ist auch Rand von X\A, da, wie oben bereits
merhfach begründet, die Umgebung der Randpunkte sowohl Elemente aus A
als auch aus X\A enthält womit auch die Randbedingungen für X\A erfüllt
sind.
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Beispiele:
1. R euklidischer Raum, A ⊂ R. Für A := [0, 1[∪{2} gilt:
Å =]0, 1[,
Ā = [0, 1] ∪ {2},
Ȧ = {0, 1, 2}.
2. R euklidischer Raum, A ⊂ R. Für A := { n1 |n ∈ N} gilt:
Es gibt keine inneren Punkte (Å = ∅).
Erklärung: Es gibt keine inneren Punkte, d.h. alle Punkte sind Randpunkte. Betrachtet man auf der Zahlengerade die Stelle n1 , so lässt sich
in der Umgebung immer ein x ∈ R\A nden.
Also ist B( n1 , r) ∩ R\A 6= ∅. ⇒ n1 ist Randpunkt.
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2.9 Abstand zweier Teilmengen
Denition 2.8. Seien A, B 6= ∅, A, B ⊂ (X, d).
Der Abstand von A und B ist deniert durch:
d(A, B) := inf {d(x, y)|x ∈ A, y ∈ B}.
Wenn A eine einelementige Menge (A = {x}) ist gilt: d(x, B) = d(A, B).
Beispiel: Seien A =]0, 1[, [2, 3]. Der Abstand ist hier 1, auch wenn es keine
Elemente x ∈ A und y ∈ B mit d(x, y) = 1 gibt.
Satz 2.9. Sei (X, d) ein metrischer Raum, x ∈ X und ∅ =
6 A ⊂ X.
1. x ∈ Ā ⇔ d(x, A) = 0.
2. x ist Randpunkt von A ⇔ d(x, A) = d(x, X\A) = 0.
3. x ist innerer Punkte von A ⇔ d(x, X\A) > 0
Beweis 3.:
Sei x ∈ A innerer Punkt von A, d.h. ∃r > 0 mit B(x, r) ⊂ A ⊂ X .
Ist also y ∈ X\A, so ist y ∈
/ B(x, r), also d(x, y) ≥ r ⇒ inf{d(x, y)|y ∈
X\A} ≥ r > 0.
Andersherum, falls d(x, X\A) := r > 0, dann folgt B(x, r) ∩ (X\A) = ∅.
⇒ B(x, r) ⊂ A ⇒ x ∈ Å.
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