AEinführung in die Algebra

A
Einführung in die Algebra
für M, MCS, LaG
Technische Universität Darmstadt
Fachbereich Mathematik
WS 2002/03
Prof. Dr. Klaus Keimel
Dr. (AUS) Werner Nickel
1./4. November 2002
Lösungen zu den Gruppenübungen Nr. 2
G RUPPEN ÜBUNGEN
G4
a) Es sei M ein Monoid und U1 und U2 Untermonoide von M . Per Definition enthalten U1 und U2
das neutrale Element von M und sind jeweils abgeschlossen bezüglich der Multiplikation von M ,
das bedeutet, dass mit u, v ∈ Ui auch u ∗ v in Ui ist.
Der Durchschnitt von U1 und U2 enthält ebenfalls das neutrale Element von M , da es in beiden
Untermonoiden liegt. Es sei u, v ∈ U1 ∩ U2 . Dann liegen u und v sowohl in U1 als auch in U2 .
Damit liegt aber auch u ∗ v sowohl in U1 als auch in U2 und damit in U1 ∩ U2 . Dies zeigt, dass der
Durchschnitt von U1 und U2 die Bedingungen für einen Untermonoid erfüllen.
b) Es sei G eine Gruppe und U1 und U2 Untergruppen von G. Nach der vorherigen (bewiesenen)
Behauptung ist U1 ∩ U2 ein Monoid. Also bleibt zu zeigen, dass U1 ∩ U2 zu jedem Element ein
Inverses enthält.
Dazu sei g ∈ U1 ∩ U2 . Damit ist g ein Element von U1 und in U1 liegt aufgrund der Untergruppeneigenschaft von U1 das Inverses g −1 von g. Mutatis mutandis gilt dies ebenfalls für U2 . Damit
liegt g −1 sowohl in U1 als auch in U2 und damit in U1 ∩ U2 .
c) Es sei R ein Ring und T1 und T2 Unterringe von R. Beide Unterringe sind eine kommutative
Gruppe bezüglich der Addition und Monoide bezüglich der Multiplikation. Nach dem bisher Bewiesenen ist daher der Durchschnitt T1 ∩ T2 eine Gruppe bezüglich der Addition und ein Monoid
bezüglich der Multiplikation. Damit ist T1 ∩ T2 ein Ring.
d) Es sei K ein Körper mit Unterkörpern L1 und L2 . Da L1 und L2 insbesondere Ringe sind, ist der
Durchschnitt L1 ∩ L2 ein Ring. Für 0 6= a ∈ L1 ∩ L2 liegt das Inverse a−1 sowohl in L1 als auch
in L2 und damit in L1 ∩ L2 . Dies zeigt, dass L1 ∩ L2 ein Körper ist.
G5 Es seien R und S Ringe. Um die Gültigkeit des Distributivgesetzes im direkten Produkt R × S zu
zeigen, wähle man Elemente (r1 , s1 ), (r2 , s2 ), (r3 , s3 ) ∈ R × S. Dann gilt:
(r1 , s1 )[(r2 , s2 ) + (r3 , s3 )] = (r1 , s1 )(r2 + r3 , s2 + s3 ) = (r1 [r2 + r3 ], s1 [s2 + s3 ])
= (r1 r2 + r1 r3 , s1 s2 + s1 s3 ) = (r1 r2 , s1 s2 ) + (r1 r3 , s1 s3 ) = (r1 , s1 )(r2 , s2 ) + (r1 , s1 )(r3 , s3 )
G6 Es seien R und S Ringe.
Wenn e eine Einheit in R mit Inversem e−1 ist und f eine Einheit in S mit Inversem f −1 , so hat das Element (e, f ) in R × S das Inverse (e−1 , f −1 ). Dies zeigt, dass das direkte Produkt der Einheitengruppen
von R und S in der Einheitengruppe von R × S enthalten ist.
Sei umgekehrt das Element (e, f ) eine Einheit in R × S. Dann gibt es ein Element (g, h) ∈ R × S,
so dass das Produkt (e, f )(g, h) gleich dem neutralen Element (1, 1) des direkten Produktes ist. Damit
folgt eg = 1 und f h = 1, was zeigt dass e und f Inverse in ihren jeweiligen Ringen besitzen und damit
Einheiten sind. Daraus folgt nun, dass jedes Element aus der Einheitengruppe von R × S im direkten
Produkt der Einheitengruppe liegt.
Insgesamt haben wir gezeigt, das die Einheitengruppe des direkten Produktes zweier Ringe gleich dem
direkten Produkt der beiden Einheitengruppen ist.
Ersetzt man in der Argumentation das Wort Ring“ durch das Wort Monoid“, so erhält man eine
”
”
korrekte Argumentation für Monoide, da wir nur die multiplikative Verknüpfung für Ringe benutzt
haben und ein Ring ein Monoid bezüglich seiner Multiplikation ist.
G7 Wir wollen nicht nachrechnen, dass die Menge der Gaußschen Zahlen mit den angegebenen Verknüpfungen ein Ring ist. Dies ist nicht schwer und wer Interesse hat, sollte dies durchaus einmal
durchführen. Wer die komplexen Zahlen kennt, der sieht, dass die Gaußschen Zahlen eine Teilmenge der komplexen Zahlen sind. Dies vereinfacht den Nachweis der Ringeigenschaften erheblich.
Nun zu den Einheiten: Wir betrachten eine Einheit a + bi ∈ Z[i] (wobei nicht gleichzeitig a und b Null
sein können). Dazu gibt es ein Element x + yi, so dass
1 = (a + bi)(x + yi) = ax − by + (ay + bx)i.
Dies ergibt die Gleichungen ax − by = 1 und bx + ay = 0.
Multipliziert man die erste Gleichung mit b, die zweite mit a und subtrahiert dann die erste von der
zweiten, so erhält man die Gleichung y(a2 + b2 ) = −b.
Multipliziert man die erste Gleichung mit a und die zweite mit b und addiert die resultierenden Gleichungen, so erhält man x(a2 + b2 ) = a.
Wir erhalten also dass a2 + b2 ein Teiler von a und ein Teiler von b sein muss. Da a2 + b2 ≥ a, kann
a2 + b2 nur dann ein Teiler von a sein, wenn a = 0 ist oder b = 0 und a ∈ {−1, 1} ist. Gleiches gilt für
b.
Damit ergeben sich die folgenden möglichen Einheiten: 1, −1, i, −i. Man sieht sofort, dass alle diese
Elemente Einheiten sind.
G8 Es sei U eine Untergruppe von Z. Unter den positiven Elementen von U gib es ein kleinstes Element;
wir nennen es u. Wir zeigen nun, dass alle Elemente aus U Vielfache von u sind.
Dazu sei x ∈ U . Division mit Rest ergibt ganze Zahlen q und r mit 0 ≤ r < u so dass x = qu + r. Da
U eine Untergruppe ist, folgt −qu = −(u + . . . + u) und r = x − qu ∈ U . Da jedoch u das kleinste
positive Element in U ist, kann nur r = 0 sein. Damit ist x ein Vielfaches von u.
Wir haben also herausgefunden, dass jede Untergruppe von der Form ist, dass alle seine Elemente ein
Vielfaches einer gewissen Zahl u sind.
Andererseits ist die Menge M aller Vielfachen einer festen Zahl u eine Untergruppe, da das Nullelement
in M ist, die Summe zweier Vielfachen von u wieder ein Vielfaches von u ist und mit ku auch das
Inverse (−k)u in M liegt.
Damit wissen wir, dass jede Untergruppe von Z bezüglich der Addition aus den Vielfachen einer festen
Zahl u besteht.
Jede Untergruppe U ist auch abgeschlossen bezüglich der Multiplikation, denn aus ku, lu ∈ U folgt ku·
lu = (lku)u ∈ U . Trotzdem ist U kein Teilring, wenn U nicht das neutrale Element der Multiplikation,
1, enthält. Dies ist aber nur dann der Fall, wenn U = Z.