Differentialgeometrie WS 10/11 Blatt 11 - math.uni

Prof. Dr. B. Hanke
Priv.-Doz. Dr. P. Quast
Differentialgeometrie WS 10/11
Blatt 11
Aufgabe 1. Es sei M ⊂ Rn eine Teilmenge mit der folgenden Eigenschaft: Für alle p ∈ M existiert eine
lokale Parametrisierung
F :U →W ⊂M
wobei U ⊂ Rk eine offene Teilmenge und W ⊂ M eine offene Umgebung von p ist. (Zur Definition von lokaler
Parametrisierung siehe Proposition 5.1.ii. im Skript). Man zeige, dass M eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit im Rn ist, und dass für jede lokale Parametrisierung F : U → W ⊂ M die Umkehrabbildung F −1 : W → U
eine lokale Karte von M ist.
Hinweis: Satz über die Umkehrfunktion.
Aufgabe 2. Man berechne die ersten Fundamentalformen sowie Einheitsnormalenfelder von
(a) S := graph(f ) ⊂ R3 bezüglich der lokalen Parametrisierung
F :U
→ R3
(u1 , u2 ) 7→ (u1 , u2 , f (u1 , u2 )) .
Hier ist f : U → R eine glatte Funktion definiert auf einer offenen Teilmenge U ⊂ R2 .
(b) S := {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 = z 2 , z > 0} ⊂ R3 (Kegel) bezüglich der lokalen Parametrisierung
F : (0, 2π) × (0, ∞) → R3
(φ, r) 7→ r · (cos(φ), sin(φ), 1) .
Machen Sie sich jeweils klar, dass es sich wirklich um eingebettete Flächen handelt.
Aufgabe 3. Es sei S ⊂ R3 eine zusammenhängende orientierbare Fläche und es seien N1 , N2 : S → R3
Einheitsnormalenfelder. Man zeige, dass entweder N1 = N2 oder N1 = −N2 gilt.
Anleitung: Zeigen Sie zuerst, dass für alle p ∈ S die Beziehung N1 (p) = ±N2 (p) gilt, und beweisen Sie anschließend, dass die beide Teilmengen
S+ := {p ∈ S | N1 (p) = N2 (p)} , S− := {p ∈ S | N1 (p) = −N2 (p)}
abgeschlossen in S sind. Beachten Sie nun, dass (nach Definition in der mengentheoretischen Topologie) die
einzigen zugleich offenen und abgeschlossenen Teilmengen eines zusammenhängenden topologischen Raumes X
die Teilmengen X und ∅ sind.
Aufgabe 4. Zeigen Sie, dass für eine eingebette Fläche S ⊂ R3 folgende Aussagen äquivalent sind:
(i) S ist orientierbar.
(ii) Es gibt einen glatten Atlas (Wi , φi )i∈I von S, so dass die Determinanten der Jacobimatrizen aller
Übergangsfunktionen positiv sind, d.h. für alle i, j ∈ I und alle x ∈ φi (Ui ∩ Uj ) gilt det Dx (φj ◦ φ−1
)
> 0.
i
Bemerkung: Die Eigenschaft (ii) kann auch für abstrakte Mannigfaltigkeiten formuliert werden und dient in
diesem Fall als Definition von orientierbar“.
”
Abgabe: Bis zum 19. Januar 2011, 10 Uhr in den gekennzeichneten Kästen.