Differentialgeomtrie W 16/17, ¨Ubungen 6 Es sei M ⊂ R 3 eine

Differentialgeomtrie W 16/17, Übungen 6
Es sei M ⊂ R3 eine Fläche. Dann gibt es zu jedem Punkt m ∈ M ein
offene Menge T ⊂ R3 mit m ∈ T , eine offene Menge U ⊂ R2 und eine
differenzierbare Abbildung α : U → R3 , so dass der Rang der Jacobischen
von α in jedem Punkt von U gleich 2 ist und so dass α eine Bijektion von
Mengen induziert
α : U → M ∩ T.
(1)
1) Wir betrachten die folgende Abbildung:
α : R2 → R3
α(φ, θ) = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ).
(2)
Aus der Vorlesung wissen wir, dass das Bild von α die Einheitskugel ist.
Man finde mit Hilfe von α in jedem Punkt der Einheitskugel eine Parametrisierung.
2) Es sei β : V → M ∩ T eine weitere Parametrisierung von M in der
Umgebung T .
Man beweise, dass die Bijektion α−1 ◦ β : V → U ein Diffeomorphismus
ist.
(Man muss einen Satz aus der Vorlesung von 5.12.16 benutzen.)
3) Es seien a > 0, b > 0, c > 0 reelle Zahlen. Man beweise, dass die Menge
M aller Punkte (x, y, z) ∈ R3 , die der Gleichung
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 =1
a2
b
c
genügen, eine Fläche bilden.
Man finde eine Paramertrisierung und berechne die erste Fundamentalform.
4) Es sei C die Kurve y 2 = x, 0 < y < 2 in der Ebene. Es sei M die
Rotationsfläche, die ensteht, wenn man C um die x-Achse rotieren läßt. Man
betrachte den Punkt P = (x0 , y0 , z0 ) = (1, 1, 0) von M . Man finde eine Basis
des Tangentialraumes TP (M ).
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